Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5487
2017-11-29 
Будем рассматривать через увеличительное стекло (лупу), установленное перпендикулярно направлению наблюдения, расположенный вдалеке пейзаж. При этом запомним, какие именно предметы (точнее, их изображения) «попали в лупу» (то есть наблюдатель видит сформированные лупой изображения этих предметов). Теперь повернём лупу так, чтобы её оптическая ось составляла угол $45^{ \circ}$ с направлением наблюдения, и по прежнему располагалась горизонтально. Наблюдатель и лупа (её оптический центр) при этом остаются на своих местах. Больше или меньше предметов (то есть больший или меньший фрагмент пейзажа) увидит наблюдатель в лупе по сравнению с первоначальной ситуацией?
Решение:
В повёрнутую лупу (по сравнению с установленной перпендикулярно направлению наблюдения) «попадёт» больший фрагмент пейзажа, причём как по вертикали, так и по горизонтали. «Сжатие» по вертикали будет меньше, чем по горизонтали (в этом легко убедиться, рассматривая не пейзаж, а, например, стену, выложенную квадратными плитками).
Приведём качественное описание наблюдаемого эффекта. (Точное решение в этой задаче и не предполагается — в условии не указаны точные параметры линзы, расстояния и т. п.).
Прежде всего напомним (уточним), что лупой обычно называется собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ примерно 10 см или меньше. В нашем случае (до того, как линзу повернули) наблюдаемый пейзаж находится от линзы на расстоянии $a \gg 2F$, поэтому будет наблюдаться действительное уменьшенное перевёрнутое изображение. Расстояние $b$ от линзы до изображения связано с $F$ и $a$ формулой тонкой линзы
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$
и равно
$b = \frac{aF}{a - F} = F + \frac{F^{2}}{a - F} > F$.
Как известно, свет от точки предмета до соответствующей ей точки изображения должен проходить по разным «лучам» за одно и то же время. В случае обычной выпуклой собирающей линзы лучи, проходящие через центр линзы, имеют меньшую длину, но зато проходят больший участок через материал линзы (её центральную «толстую» часть), скорость света в котором меньше. Свет, проходящий через тонкие края линзы, затрачивает меньше времени на распространение по стеклу (с меньшей скоростью), но зато преодолевает больший путь по воздуху.
В принципе, аналогичными свойствами обладает не только «обычная» линза (стеклянное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями), но и другие оптические системы, в которых распределение оптически плотного (имеющего большой коэффициент преломления) вещества аналогично: какая-то прямая «главная оптическая ось» пересекает самую большую «толщину» оптически плотного вещества, а прямые, параллельные ей — меньшую (причём тем меньше, чем дальше эта прямая от «главной оптической оси» и эта зависимость от расстояния аналогична такой зависимости для «обычной» собирающей линзы). Такая «нестандартная» линза, например, будет фокусировать параллельный световой пучок в «точку» (область пространства, существенно меньшую по размерам, чем диаметр пучка и размеры самой оптической системы). Если поверхности нашей оптической системы достаточно гладкие и плавные и её фокусное расстояние больше её собственных размеров (по крайней мере, фокус лежит за пределами самой системы), то с её помощью также можно строить изображения (возможно, с некоторыми искажениями; одно из возможных искажений — непропорциональное «сжатие» изображения — как раз и рассматривается в данной задаче).
Пусть зависимость «толщины» нашей линзы от расстояния до главной оптической оси выражалась функцией $h(r)$. Угол поворота линзы $45^{ \circ}$ (заданный в условии задачи) для уменьшения путаницы обозначим через $\alpha$ (напомним, что $\sin 45^{ \circ} = \cos 45^{ \circ } = 1/ \sqrt{2}$). В результате поворота все части линзы окажутся повёрнутыми боком к направлению наблюдения на угол $\alpha$ и их «толщина» умножится на коэффициент $1/ \cos \alpha$. Кроме того, все точки линзы, кроме расположенных на оси поворота, из-за поворота стали располагаться ближе к оптической оси (то есть прямой, идущей в направлении наблюдения и проходящей через центр линзы). В результате после поворота зависимость «толщины» линзы от расстояния до оптической оси окажется равной $\frac{h(r)}{ \cos \alpha}$ «по вертикали», $\frac{h(r \cos \alpha )}{ \cos \alpha}$ «по горизонтали» и промежуточным — в остальных местах линзы.
При «сжатии» линзы в каком-то направлении, перпендикулярном оптической оси (а то, что описано выше, это фактически и есть сжатие; перемещения материала линзы вдоль оси наблюдения, как было отмечено ранее, в данном случае несущественны) вся картинка лучей также «сжимается» вместе с линзой. Даже чуть сильнее, так как луч, совпадающий с оптической осью, не претерпевает вообще никаких изменений, а длина, например, «боковых» лучей, также начинающихся и заканчивающихся на оптической оси, но проходящих не через центр линзы, из-за «пропорционального» сжатия уменьшается (в основном та часть, которая проходит по воздуху). И чтобы «скомпенсировать» время прохождения, таким лучам приходится «забираться» ещё ближе к центру линзы, на более толстый её участок. Соответственно, картинка лучей «сжимается» немного сильнее, чем мы «сжали» линзу, и поэтому в линзу (создаваемое ею изображение) «поместится» больший фрагмент наблюдаемого объекта (чем до «сжатия»). Вот мы и получили ответ на вопрос задания.
Разумеется, полученные изображения кроме искажений сжатия (различного по разным направлениям) будут иметь и другие искажения (скорее всего большие, чем при «правильном» использовании линзы). Это будет хорошо заметно (расплывчатость) при фокусировании изображения на экран. Если же изображение наблюдается глазом (или цифровым фотоаппаратом с автоматической фокусировкой), то эти искажения частично устраняются (но при этом могут искажаться и размеры изображения).
Заметим, что попытка решить задачу с использованием «напрямую» модели тонкой линзы приведёт к качественно неверному результату. А именно, в этой модели считается, что параллельные световые пучки, направление которых не совпадает с направлением главной оптической оси линзы, линза фокусирует в побочных фокусах, которые все расположены дальше от оптического центра линзы, чем главные фокусы. Соответственно, «повёрнутую» на угол $\alpha$ линзу нужно было бы считать обычной, но с фокусным расстоянием $F/ \cos \alpha$ (где $F$ — «обычное» фокусное расстояние). Кроме того, в модели тонкой линзы увеличение изображения определяется только отношением расстояний от линзы до предмета и от линзы до изображения, что в нашем случае не соответствует действительности.
Будем рассматривать через увеличительное стекло (лупу), установленное перпендикулярно направлению наблюдения, расположенный вдалеке пейзаж. При этом запомним, какие именно предметы (точнее, их изображения) «попали в лупу» (то есть наблюдатель видит сформированные лупой изображения этих предметов). Теперь повернём лупу так, чтобы её оптическая ось составляла угол $45^{ \circ}$ с направлением наблюдения, и по прежнему располагалась горизонтально. Наблюдатель и лупа (её оптический центр) при этом остаются на своих местах. Больше или меньше предметов (то есть больший или меньший фрагмент пейзажа) увидит наблюдатель в лупе по сравнению с первоначальной ситуацией?
Решение:
В повёрнутую лупу (по сравнению с установленной перпендикулярно направлению наблюдения) «попадёт» больший фрагмент пейзажа, причём как по вертикали, так и по горизонтали. «Сжатие» по вертикали будет меньше, чем по горизонтали (в этом легко убедиться, рассматривая не пейзаж, а, например, стену, выложенную квадратными плитками).
Приведём качественное описание наблюдаемого эффекта. (Точное решение в этой задаче и не предполагается — в условии не указаны точные параметры линзы, расстояния и т. п.).
Прежде всего напомним (уточним), что лупой обычно называется собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ примерно 10 см или меньше. В нашем случае (до того, как линзу повернули) наблюдаемый пейзаж находится от линзы на расстоянии $a \gg 2F$, поэтому будет наблюдаться действительное уменьшенное перевёрнутое изображение. Расстояние $b$ от линзы до изображения связано с $F$ и $a$ формулой тонкой линзы
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}$
и равно
$b = \frac{aF}{a - F} = F + \frac{F^{2}}{a - F} > F$.
Как известно, свет от точки предмета до соответствующей ей точки изображения должен проходить по разным «лучам» за одно и то же время. В случае обычной выпуклой собирающей линзы лучи, проходящие через центр линзы, имеют меньшую длину, но зато проходят больший участок через материал линзы (её центральную «толстую» часть), скорость света в котором меньше. Свет, проходящий через тонкие края линзы, затрачивает меньше времени на распространение по стеклу (с меньшей скоростью), но зато преодолевает больший путь по воздуху.
В принципе, аналогичными свойствами обладает не только «обычная» линза (стеклянное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями), но и другие оптические системы, в которых распределение оптически плотного (имеющего большой коэффициент преломления) вещества аналогично: какая-то прямая «главная оптическая ось» пересекает самую большую «толщину» оптически плотного вещества, а прямые, параллельные ей — меньшую (причём тем меньше, чем дальше эта прямая от «главной оптической оси» и эта зависимость от расстояния аналогична такой зависимости для «обычной» собирающей линзы). Такая «нестандартная» линза, например, будет фокусировать параллельный световой пучок в «точку» (область пространства, существенно меньшую по размерам, чем диаметр пучка и размеры самой оптической системы). Если поверхности нашей оптической системы достаточно гладкие и плавные и её фокусное расстояние больше её собственных размеров (по крайней мере, фокус лежит за пределами самой системы), то с её помощью также можно строить изображения (возможно, с некоторыми искажениями; одно из возможных искажений — непропорциональное «сжатие» изображения — как раз и рассматривается в данной задаче).
Пусть зависимость «толщины» нашей линзы от расстояния до главной оптической оси выражалась функцией $h(r)$. Угол поворота линзы $45^{ \circ}$ (заданный в условии задачи) для уменьшения путаницы обозначим через $\alpha$ (напомним, что $\sin 45^{ \circ} = \cos 45^{ \circ } = 1/ \sqrt{2}$). В результате поворота все части линзы окажутся повёрнутыми боком к направлению наблюдения на угол $\alpha$ и их «толщина» умножится на коэффициент $1/ \cos \alpha$. Кроме того, все точки линзы, кроме расположенных на оси поворота, из-за поворота стали располагаться ближе к оптической оси (то есть прямой, идущей в направлении наблюдения и проходящей через центр линзы). В результате после поворота зависимость «толщины» линзы от расстояния до оптической оси окажется равной $\frac{h(r)}{ \cos \alpha}$ «по вертикали», $\frac{h(r \cos \alpha )}{ \cos \alpha}$ «по горизонтали» и промежуточным — в остальных местах линзы.
При «сжатии» линзы в каком-то направлении, перпендикулярном оптической оси (а то, что описано выше, это фактически и есть сжатие; перемещения материала линзы вдоль оси наблюдения, как было отмечено ранее, в данном случае несущественны) вся картинка лучей также «сжимается» вместе с линзой. Даже чуть сильнее, так как луч, совпадающий с оптической осью, не претерпевает вообще никаких изменений, а длина, например, «боковых» лучей, также начинающихся и заканчивающихся на оптической оси, но проходящих не через центр линзы, из-за «пропорционального» сжатия уменьшается (в основном та часть, которая проходит по воздуху). И чтобы «скомпенсировать» время прохождения, таким лучам приходится «забираться» ещё ближе к центру линзы, на более толстый её участок. Соответственно, картинка лучей «сжимается» немного сильнее, чем мы «сжали» линзу, и поэтому в линзу (создаваемое ею изображение) «поместится» больший фрагмент наблюдаемого объекта (чем до «сжатия»). Вот мы и получили ответ на вопрос задания.
Разумеется, полученные изображения кроме искажений сжатия (различного по разным направлениям) будут иметь и другие искажения (скорее всего большие, чем при «правильном» использовании линзы). Это будет хорошо заметно (расплывчатость) при фокусировании изображения на экран. Если же изображение наблюдается глазом (или цифровым фотоаппаратом с автоматической фокусировкой), то эти искажения частично устраняются (но при этом могут искажаться и размеры изображения).
Заметим, что попытка решить задачу с использованием «напрямую» модели тонкой линзы приведёт к качественно неверному результату. А именно, в этой модели считается, что параллельные световые пучки, направление которых не совпадает с направлением главной оптической оси линзы, линза фокусирует в побочных фокусах, которые все расположены дальше от оптического центра линзы, чем главные фокусы. Соответственно, «повёрнутую» на угол $\alpha$ линзу нужно было бы считать обычной, но с фокусным расстоянием $F/ \cos \alpha$ (где $F$ — «обычное» фокусное расстояние). Кроме того, в модели тонкой линзы увеличение изображения определяется только отношением расстояний от линзы до предмета и от линзы до изображения, что в нашем случае не соответствует действительности.
