Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5477
2017-11-29 
Винни Пух ходит в гости к Пятачку через лес по прямой дороге со скоростью 5 км/час. Просто по лесу (без дороги) Винни Пух может передвигаться со скоростью 1 км/час.
У самой дороги посреди леса стоит дуб с пчёлами. Винни Пух обходит дуб лесом. При этом он не приближается к дубу ближе чем на 1 км и добирается до дома Пятачка за минимальное время.
На сколько быстрее добирался бы Винни Пух до своего друга, если бы не боялся пчёл?
Для получения численного ответа вам могут понадобиться приближённые значения $arccos 0,2 \approx 1,369$ и $arcsin 0,2 «\approx 0,201$.
Решение:
Оптимальный путь Винни Пуха по лесу может состоять из прямых отрезков и пути по окружности радиусом 1 км вокруг дуба с пчёлами (на любом другом криволинейном участке можно найти место, которое можно «срезать», получив более оптимальный по времени маршрут).
Переход с прямого участка маршрута на окружность может быть только по касательной к этой окружности (иначе угол между прямой и окружностью опять-таки можно будет «срезать»).
Теперь маршрут примерно понятен. Винни Пух перед дубом сворачивает в лес, идёт по лесу прямо и выходит на окружность радиусом 1 км вокруг дуба, причём прямая, по которой он шёл до этого, является касательной к окружности. Затем Винни Пух проходит часть окружности, затем опять идёт по прямой, касательной к этой окружности, затем опять выходит на дорогу и идёт дальше, в гости к Пятачку.
Введём обозначения: $R =1 км$ (радиус досягаемости пчёл), $v_{0} =1 км/ч$ (скорость Винни Пуха по лесу), $v = 5 км/ч$ (скорость Винни Пуха по лесной дороге).
Выясним, какой угол составляют участки прямолинейного движения по лесу с дорогой. Это можно сделать так. Выберем какую-нибудь точку в лесу на некотором расстоянии от дороги и поместим туда Винни Пуха, поставив ему прежнюю задачу: выйти на дорогу и добраться до дома Пятачка, потратив на весь путь как можно меньше времени.
Граница области леса, где Винни Пух мог бы оказаться через время t после начала движения, — это окружность радиуса $v_{0} t$. С того момента, как эта окружность «коснётся» дороги, будем следить за точкой пересечения этой окружности с дорогой (той из двух точек пересечения, которая ближе к дому Пятачка).
Скорость этой точки в момент «касания» бесконечна, после чего монотонно уменьшается, стремясь к $v_{0}$.
Винни Пуху не выгодно выходить из лесу в том месте дороги, где скорость точки пересечения больше $v$. Действительно, начав движение по дороге со скоростью $v$, он тут же отстанет от точки пересечения, то есть окажется дальше от дома Пятачка, чем мог бы оказаться, выбрав другое направление движения.
Выходить на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения меньше v, также невыгодно: если выйти на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения была ровно $v$, далее, двигаясь по дороге со скоростью $v$, можно «обогнать» эту точку пересечения и оказаться ближе к цели.
Значит, к дороге нужно двигаться лесом под таким углом, чтобы выйти на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения с дорогой равна $v = 5 км/ч$.
Найдём этот оптимальный угол $\alpha$ между оптимальным направлением движения Винни Пуха по лесу и дорогой. Так как $v_{0}$ — это проекция вектора $\vec{v}$, направленного вдоль дороги, на направление движение движения Винни Пуха по лесу, то $\cos \alpha = v_{0}/v$.
Введём обозначения: $a$ — расстояние от места поворота с дороги в лес до дуба; $b$ — длина участка прямолинейного движения по лесу от места поворота в лес до места начала движения по окружности; $c$ —длина дуги окружности, пройденной Винни Пухом.
Из прямоугольного треугольника, образованного местом расположения дуба и концами отрезка прямолинейного движения по лесу, получаем
$\sin \alpha = R/a; tg \alpha = R/b$;
$a = R/ \sin \alpha; b = R/ tg \alpha$.
Также понятно, что $c = 2R \alpha$.
Из-за пчёл Винни Пуху пришлось участок дороги длиной $2a$ (который он мог бы пройти со скоростью $v$) обходить по лесу, пройдя там расстояние ($2b + c$) со скоростью $v_{0}$. Потеря времени составляет
$\Delta t = \frac{1}{v_{0}}(2b + c) - \frac{1}{v} 2a = \frac{1}{v_{0}} \left ( 2 \frac{R}{ tg \alpha} + 2R \alpha \right ) - \frac{1}{v} 2 \frac{R}{ \sin \alpha} = \frac{2R}{ \sin \alpha} \left ( \frac{1}{v_{0}} ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha) - \frac{1}{v} \right ) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} \left ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha - \frac{v_{0}}{v} \right ) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha - \cos \alpha) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} \alpha \sin \alpha = \frac{2R }{ v_{0} } \alpha = \frac{2R }{ v_{0}} arccos \frac{v_{0}}{v} = \frac{2 \cdot 1 км}{ 1 км/ч} arccos \frac{1 км/ч}{5 км/ч} = 2 ч \cdot arccos 0,2 \approx 2 \cdot 1,369 ч = 2,738 ч$.
«Правильная» траектория Винни Пуха приведена на рисунке, выполненном с точным соблюдением масштаба.
Заметим, что при приведённых в условии задачи числовых данных оптимальный путь Винни Пуха очень мало отличается от дуги полуокружности (и прилегающих к ней участков дороги). Это хорошо видно на приведённом рисунке, выполненном с соблюдением масштаба. Однако такое решение, несмотря на маленькую погрешность в численном ответе, не может считаться верным.
Винни Пух ходит в гости к Пятачку через лес по прямой дороге со скоростью 5 км/час. Просто по лесу (без дороги) Винни Пух может передвигаться со скоростью 1 км/час.
У самой дороги посреди леса стоит дуб с пчёлами. Винни Пух обходит дуб лесом. При этом он не приближается к дубу ближе чем на 1 км и добирается до дома Пятачка за минимальное время.
На сколько быстрее добирался бы Винни Пух до своего друга, если бы не боялся пчёл?
Для получения численного ответа вам могут понадобиться приближённые значения $arccos 0,2 \approx 1,369$ и $arcsin 0,2 «\approx 0,201$.
Решение:
Оптимальный путь Винни Пуха по лесу может состоять из прямых отрезков и пути по окружности радиусом 1 км вокруг дуба с пчёлами (на любом другом криволинейном участке можно найти место, которое можно «срезать», получив более оптимальный по времени маршрут).
Переход с прямого участка маршрута на окружность может быть только по касательной к этой окружности (иначе угол между прямой и окружностью опять-таки можно будет «срезать»).
Теперь маршрут примерно понятен. Винни Пух перед дубом сворачивает в лес, идёт по лесу прямо и выходит на окружность радиусом 1 км вокруг дуба, причём прямая, по которой он шёл до этого, является касательной к окружности. Затем Винни Пух проходит часть окружности, затем опять идёт по прямой, касательной к этой окружности, затем опять выходит на дорогу и идёт дальше, в гости к Пятачку.
Введём обозначения: $R =1 км$ (радиус досягаемости пчёл), $v_{0} =1 км/ч$ (скорость Винни Пуха по лесу), $v = 5 км/ч$ (скорость Винни Пуха по лесной дороге).
Выясним, какой угол составляют участки прямолинейного движения по лесу с дорогой. Это можно сделать так. Выберем какую-нибудь точку в лесу на некотором расстоянии от дороги и поместим туда Винни Пуха, поставив ему прежнюю задачу: выйти на дорогу и добраться до дома Пятачка, потратив на весь путь как можно меньше времени.
Граница области леса, где Винни Пух мог бы оказаться через время t после начала движения, — это окружность радиуса $v_{0} t$. С того момента, как эта окружность «коснётся» дороги, будем следить за точкой пересечения этой окружности с дорогой (той из двух точек пересечения, которая ближе к дому Пятачка).
Скорость этой точки в момент «касания» бесконечна, после чего монотонно уменьшается, стремясь к $v_{0}$.
Винни Пуху не выгодно выходить из лесу в том месте дороги, где скорость точки пересечения больше $v$. Действительно, начав движение по дороге со скоростью $v$, он тут же отстанет от точки пересечения, то есть окажется дальше от дома Пятачка, чем мог бы оказаться, выбрав другое направление движения.
Выходить на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения меньше v, также невыгодно: если выйти на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения была ровно $v$, далее, двигаясь по дороге со скоростью $v$, можно «обогнать» эту точку пересечения и оказаться ближе к цели.
Значит, к дороге нужно двигаться лесом под таким углом, чтобы выйти на дорогу в том месте, где скорость точки пересечения с дорогой равна $v = 5 км/ч$.
Найдём этот оптимальный угол $\alpha$ между оптимальным направлением движения Винни Пуха по лесу и дорогой. Так как $v_{0}$ — это проекция вектора $\vec{v}$, направленного вдоль дороги, на направление движение движения Винни Пуха по лесу, то $\cos \alpha = v_{0}/v$.
Введём обозначения: $a$ — расстояние от места поворота с дороги в лес до дуба; $b$ — длина участка прямолинейного движения по лесу от места поворота в лес до места начала движения по окружности; $c$ —длина дуги окружности, пройденной Винни Пухом.
Из прямоугольного треугольника, образованного местом расположения дуба и концами отрезка прямолинейного движения по лесу, получаем
$\sin \alpha = R/a; tg \alpha = R/b$;
$a = R/ \sin \alpha; b = R/ tg \alpha$.
Также понятно, что $c = 2R \alpha$.
Из-за пчёл Винни Пуху пришлось участок дороги длиной $2a$ (который он мог бы пройти со скоростью $v$) обходить по лесу, пройдя там расстояние ($2b + c$) со скоростью $v_{0}$. Потеря времени составляет
$\Delta t = \frac{1}{v_{0}}(2b + c) - \frac{1}{v} 2a = \frac{1}{v_{0}} \left ( 2 \frac{R}{ tg \alpha} + 2R \alpha \right ) - \frac{1}{v} 2 \frac{R}{ \sin \alpha} = \frac{2R}{ \sin \alpha} \left ( \frac{1}{v_{0}} ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha) - \frac{1}{v} \right ) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} \left ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha - \frac{v_{0}}{v} \right ) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} ( \cos \alpha + \alpha \sin \alpha - \cos \alpha) = \frac{2R / v_{0}}{ \sin \alpha} \alpha \sin \alpha = \frac{2R }{ v_{0} } \alpha = \frac{2R }{ v_{0}} arccos \frac{v_{0}}{v} = \frac{2 \cdot 1 км}{ 1 км/ч} arccos \frac{1 км/ч}{5 км/ч} = 2 ч \cdot arccos 0,2 \approx 2 \cdot 1,369 ч = 2,738 ч$.
«Правильная» траектория Винни Пуха приведена на рисунке, выполненном с точным соблюдением масштаба.
Заметим, что при приведённых в условии задачи числовых данных оптимальный путь Винни Пуха очень мало отличается от дуги полуокружности (и прилегающих к ней участков дороги). Это хорошо видно на приведённом рисунке, выполненном с соблюдением масштаба. Однако такое решение, несмотря на маленькую погрешность в численном ответе, не может считаться верным.
