Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 547
2014-06-01 
Тонкий обруч массой $M$ и радиуса $r$ поставлен на горизонтальную плоскость. В начальный момент обруч покоится. По гладкому каналу, проходящему внутри обруча, соскальзывает из верхней точки без начальной скорости небольшая шайба массой $m$.
Определите скорость $u$ центра обруча в тот момент, когда шайба находится в некоторой точке обруча А, радиус-вектор которой образует угол $\phi$ с вертикалью (рис.). Трением между обручем и плоскостью пренебречь.
Решение:
Силы, действующие на систему обруч - шайба, - это сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны плоскости. Обе эти силы направлены вдоль вертикали. Следовательно, центр масс системы в горизонтальном направлении не перемешается. Поскольку трение между обручем и плоскостью отсутствует, обруч движется поступательно. Согласно закону сохранения импульса, в любой момент времени
$Mu + mv_{x}=0$, (1)
где $u$ и $v_{x}$ - горизонтальные проекции скоростей центра обруча и шайбы. Так как $v_{x}$ периодически меняет знак, то и $u$ «синхронно» меняет знак. Общий характер движения обруча таков: шайба на участках ВС и BE - центр обруча движется вправо; шайба на участках CD и DE - центр обруча движется влево (рис. 1).
Скорости шайбы $v$ и обруча и связаны законом сохранения энергии:
$mgr(1 + \cos \phi) = mv^{2}/2 + Mu^{2}/2$. (2)
Движение шайбы относительно неподвижного наблюдателя можно представить в любой момент времени как суперпозицию двух движений: движения относительно центра обруча со скоростью $v_{t}$, направленной по касательной к обручу, и движения вместе с обручем со
Рис. 1
Рис. 2
скоростью $u$, направленной горизонтально (рис. 2). Как видно из рисунка.
$v_{y}/(v_{x}+v_{y}) = tg \: \phi$. (3)
Решая совместно уравнения (1)-(3), найдем скорость центра обруча в тот момент, когда радиус-вектор точки, в которой находится шайба, составляет угол $\phi$ с вертикалью:
$u = m \cos \phi \sqrt{2gr (1 + \cos \phi) / [(M+m)(M+m \sin \phi)]}$.
Тонкий обруч массой $M$ и радиуса $r$ поставлен на горизонтальную плоскость. В начальный момент обруч покоится. По гладкому каналу, проходящему внутри обруча, соскальзывает из верхней точки без начальной скорости небольшая шайба массой $m$.
Определите скорость $u$ центра обруча в тот момент, когда шайба находится в некоторой точке обруча А, радиус-вектор которой образует угол $\phi$ с вертикалью (рис.). Трением между обручем и плоскостью пренебречь.
Решение:
Силы, действующие на систему обруч - шайба, - это сила тяжести и сила нормальной реакции со стороны плоскости. Обе эти силы направлены вдоль вертикали. Следовательно, центр масс системы в горизонтальном направлении не перемешается. Поскольку трение между обручем и плоскостью отсутствует, обруч движется поступательно. Согласно закону сохранения импульса, в любой момент времени
$Mu + mv_{x}=0$, (1)
где $u$ и $v_{x}$ - горизонтальные проекции скоростей центра обруча и шайбы. Так как $v_{x}$ периодически меняет знак, то и $u$ «синхронно» меняет знак. Общий характер движения обруча таков: шайба на участках ВС и BE - центр обруча движется вправо; шайба на участках CD и DE - центр обруча движется влево (рис. 1).
Скорости шайбы $v$ и обруча и связаны законом сохранения энергии:
$mgr(1 + \cos \phi) = mv^{2}/2 + Mu^{2}/2$. (2)
Движение шайбы относительно неподвижного наблюдателя можно представить в любой момент времени как суперпозицию двух движений: движения относительно центра обруча со скоростью $v_{t}$, направленной по касательной к обручу, и движения вместе с обручем со
Рис. 1
Рис. 2
скоростью $u$, направленной горизонтально (рис. 2). Как видно из рисунка.
$v_{y}/(v_{x}+v_{y}) = tg \: \phi$. (3)
Решая совместно уравнения (1)-(3), найдем скорость центра обруча в тот момент, когда радиус-вектор точки, в которой находится шайба, составляет угол $\phi$ с вертикалью:
$u = m \cos \phi \sqrt{2gr (1 + \cos \phi) / [(M+m)(M+m \sin \phi)]}$.
