Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5469
2017-11-29 
Рулон липкой ленты «скотч» может свободно вращаться вокруг центра. Лента считается тонкой, гибкой и нерастяжимой. Работа, необходимая для отклеивания от рулона куска ленты, пропорциональна длине этого куска. Обратно лента приклеивается без дополнительных усилий.
Ленту тянут за конец и сматывают с рулона. Причём ленту предварительно специально расположили так, что от поверхности рулона отклеиваются сразу два слоя (точка A), затем в точке B эти слои разделяются: внешний слой — это сматываемый конец ленты, а внутренний слой затем приклеивается обратно к рулону в точке C.
Для разматывания ленты с рулона к отрезку ленты BD необходимо приложить силу F. Найдите разницу сил натяжения отрезков ленты AB и BC в этом случае.
Решение:
1. По условию, работа, необходимая для отклеивания от рулона куска ленты, пропорциональна длине этого куска. Введём для коэффициента пропорциональности обозначение $F_{0}$, то есть
$Работа = F_{0} \cdot Длина$.
Тогда $F = 2F_{0}$, так как при «вытягивании» отрезка DB на длину $x$ происходит отклеивание липкого слоя ленты длины $x$ в точке A и, кроме того, отклеивание липкого слоя такой же длины $x$ в точке B (при «перемещении» на $x$ совершается работа $2F_{0} \cdot x$).
2. Теперь выясним, с какой силой нужно «отлеплять» скотч от плоской поверхности, если тянуть «хвост» в направлении под углом $\alpha$. Пусть мы отлепили от поверхности кусок ленты длиной $x$.
Тогда, как легко сообразить (см. рисунок), перемещение в выбранном нами направлении ($\vec{F}$) будет равно $h(x) = x(1 - \cos \alpha)$. Соответственно, сила, которую нужно прикладывать в выбранном направлении, чтобы отклеить ленту, равна
$F ( \alpha ) = \frac{A}{h ( \alpha)} = \frac{A}{x(1 - \cos \alpha)} = \frac{1}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{A}{x} = \frac{F_{0}}{1 - \cos \alpha}$.
Эту же формулу можно использовать и для неплоской поверхности, считая маленький участок этой поверхности плоским. В этом случае угол а определяется касательной к поверхности в месте отклеивания липкого слоя.
3. Пусть $F_{AB}$ и $F_{BC}$ — силы натяжения участков ленты AB и BC соответственно (под $F_{AB}$ подразумевается суммарная сила натяжения двух слоёв ленты, составляющих этот участок).
Пусть $\alpha$ — острый угол между отрезком AB и поверхностью (касательной к поверхности) рулона в точке A.
4. Поскольку рулон ленты вращается без ускорения, сумма моментов сил относительно центра рулона, создаваемых отрезками ленты AB и BC, должна быть равна 0, то есть
$RF_{BC} = RF_{AB} \cos \alpha$,
$F_{BC} = F_{AB} \cos \alpha$,
$\cos \alpha = \frac{F_{BC}}{F_{AB}}$.
В соответствии с п. 2
$F_{AB} = F_{0} \frac{1}{ 1 - \cos \alpha} $.
Отсюда
$F_{AB}=F_{0} \frac{1}{1 - \frac{F_{BC}}{F_{AB}}} = F_{0} \frac{F_{AB}}{F_{AB} - F_{BC}}$,
$F_{AB} - F_{BC} = F_{0} = F/2$.
Заметим, что в рассмотренной нами задаче всегда $\alpha < 90^{ \circ}$. При этом условии мы получили и далее использовали формулу $h(x) = x(1 - \cos \alpha)$. Если же $\alpha > 90^{ \circ}$, то, как легко сообразить, сделав соответствующий рисунок, $h(x) = x(1 + \cos \alpha)$.
Ответ. $F_{AB} - F_{BC} = F/2$.
Примечание. Описанную в задаче конструкцию нетрудно изготовить самостоятельно. Единственная «хитрость»: если скотч отклеить и затем приклеить на место не очень аккуратно, то он держится плохо и может просто «отвалиться», а не вести себя так, как описано в условии задачи.
Обойти эту трудность можно так.
1. Смотайте с рулона скотча относительно длинный «хвост».
2. Положите на поверхность рулона что-нибудь круглое (палец, ручку, толстый фломастер) и примотайте «хвостом» так, чтобы сверху предмета оказалось 2 слоя скотча.
3. Оттягивая получившуюся петлю, передвиньте её против направления намотки ленты на 2 оборота, одновременно отлепляя «хвост» так, чтобы петля всегда состояла из двух слоёв. В результате окажется, что «хвост», намотанный вручную, полностью смотан, и все имеющиеся соединения слоёв сделаны аккуратно — они образовались на натянутой петле.
4. Аккуратно вытащите из петли вспомогательный предмет, наденьте рулон скотча на палец (ручку, или ещё что-нибудь круглое и гладкое) и тяните за «хвост». Скотч должен вести себя так, как описано в условии задачи.
Рулон липкой ленты «скотч» может свободно вращаться вокруг центра. Лента считается тонкой, гибкой и нерастяжимой. Работа, необходимая для отклеивания от рулона куска ленты, пропорциональна длине этого куска. Обратно лента приклеивается без дополнительных усилий.
Ленту тянут за конец и сматывают с рулона. Причём ленту предварительно специально расположили так, что от поверхности рулона отклеиваются сразу два слоя (точка A), затем в точке B эти слои разделяются: внешний слой — это сматываемый конец ленты, а внутренний слой затем приклеивается обратно к рулону в точке C.
Для разматывания ленты с рулона к отрезку ленты BD необходимо приложить силу F. Найдите разницу сил натяжения отрезков ленты AB и BC в этом случае.
Решение:
1. По условию, работа, необходимая для отклеивания от рулона куска ленты, пропорциональна длине этого куска. Введём для коэффициента пропорциональности обозначение $F_{0}$, то есть
$Работа = F_{0} \cdot Длина$.
Тогда $F = 2F_{0}$, так как при «вытягивании» отрезка DB на длину $x$ происходит отклеивание липкого слоя ленты длины $x$ в точке A и, кроме того, отклеивание липкого слоя такой же длины $x$ в точке B (при «перемещении» на $x$ совершается работа $2F_{0} \cdot x$).
2. Теперь выясним, с какой силой нужно «отлеплять» скотч от плоской поверхности, если тянуть «хвост» в направлении под углом $\alpha$. Пусть мы отлепили от поверхности кусок ленты длиной $x$.
Тогда, как легко сообразить (см. рисунок), перемещение в выбранном нами направлении ($\vec{F}$) будет равно $h(x) = x(1 - \cos \alpha)$. Соответственно, сила, которую нужно прикладывать в выбранном направлении, чтобы отклеить ленту, равна
$F ( \alpha ) = \frac{A}{h ( \alpha)} = \frac{A}{x(1 - \cos \alpha)} = \frac{1}{1 - \cos \alpha} \cdot \frac{A}{x} = \frac{F_{0}}{1 - \cos \alpha}$.
Эту же формулу можно использовать и для неплоской поверхности, считая маленький участок этой поверхности плоским. В этом случае угол а определяется касательной к поверхности в месте отклеивания липкого слоя.
3. Пусть $F_{AB}$ и $F_{BC}$ — силы натяжения участков ленты AB и BC соответственно (под $F_{AB}$ подразумевается суммарная сила натяжения двух слоёв ленты, составляющих этот участок).
Пусть $\alpha$ — острый угол между отрезком AB и поверхностью (касательной к поверхности) рулона в точке A.
4. Поскольку рулон ленты вращается без ускорения, сумма моментов сил относительно центра рулона, создаваемых отрезками ленты AB и BC, должна быть равна 0, то есть
$RF_{BC} = RF_{AB} \cos \alpha$,
$F_{BC} = F_{AB} \cos \alpha$,
$\cos \alpha = \frac{F_{BC}}{F_{AB}}$.
В соответствии с п. 2
$F_{AB} = F_{0} \frac{1}{ 1 - \cos \alpha} $.
Отсюда
$F_{AB}=F_{0} \frac{1}{1 - \frac{F_{BC}}{F_{AB}}} = F_{0} \frac{F_{AB}}{F_{AB} - F_{BC}}$,
$F_{AB} - F_{BC} = F_{0} = F/2$.
Заметим, что в рассмотренной нами задаче всегда $\alpha < 90^{ \circ}$. При этом условии мы получили и далее использовали формулу $h(x) = x(1 - \cos \alpha)$. Если же $\alpha > 90^{ \circ}$, то, как легко сообразить, сделав соответствующий рисунок, $h(x) = x(1 + \cos \alpha)$.
Ответ. $F_{AB} - F_{BC} = F/2$.
Примечание. Описанную в задаче конструкцию нетрудно изготовить самостоятельно. Единственная «хитрость»: если скотч отклеить и затем приклеить на место не очень аккуратно, то он держится плохо и может просто «отвалиться», а не вести себя так, как описано в условии задачи.
Обойти эту трудность можно так.
1. Смотайте с рулона скотча относительно длинный «хвост».
2. Положите на поверхность рулона что-нибудь круглое (палец, ручку, толстый фломастер) и примотайте «хвостом» так, чтобы сверху предмета оказалось 2 слоя скотча.
3. Оттягивая получившуюся петлю, передвиньте её против направления намотки ленты на 2 оборота, одновременно отлепляя «хвост» так, чтобы петля всегда состояла из двух слоёв. В результате окажется, что «хвост», намотанный вручную, полностью смотан, и все имеющиеся соединения слоёв сделаны аккуратно — они образовались на натянутой петле.
4. Аккуратно вытащите из петли вспомогательный предмет, наденьте рулон скотча на палец (ручку, или ещё что-нибудь круглое и гладкое) и тяните за «хвост». Скотч должен вести себя так, как описано в условии задачи.
