Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5468
2017-11-29 
Рассматриваются электрические схемы, состоящие только из резисторов. Один резистор переменный ($R_{x}$), остальные фиксированные. К двум контактам схемы подключён источник постоянного напряжения (оно не зависит от сопротивления схемы).
Возможна ли такая схема, в которой при монотонном изменении сопротивления резистора $R_{x}$ смена направления тока на противоположное через какой-то постоянный резистор $R_{0}$ происходит более одного раза?
Решение:
Любой «чёрный ящик», внутри которого находятся идеальные батарейки (одна или несколько, или даже ни одной!) и любым образом соединённые идеальные резисторы, из которого выведены два провода, можно представить в виде эквивалентной батарейки с некоторой ЭДС $E$ и некоторым внутренним сопротивлением $r$. Измерить эти параметры можно так. 1. Подключаем к этим выводам идеальный вольтметр — получаем величину и знак ЭДС. 2. Подключаем к этим выводам идеальный амперметр — получаем ток короткого замыкания $i$ эквивалентной батарейки. Отсюда находится её внутреннее сопротивление $r = E/I$. Какой бы мы ни подключили к означенным выводам резистор с сопротивлением $R \neq 0$, ток через него будет равен $I = E/(R + r)$.
В данном случае можно рассматривать «чёрный ящик» с тремя выводами: один — это, например, отрицательный вывод батарейки (3), а два других —это точки подключения переменного резистора — (1) и (2). Для удобства пару точек (1) и (3) можно формально считать выводами одной «виртуальной» неидеальной батарейки, а пару точек (2) и (3) — выводами другой «виртуальной» неидеальной батарейки.
Пусть эти батарейки имеют ЭДС $E_{1}$ и $E_{2}$ и внутренние сопротивления $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно.
Потенциалы точек подключения концов сопротивления $R_{x}$ равны:
$\phi_{1} = E_{1} - \frac{(E_{1} - E_{2})r_{1}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}} = \frac{E_{1}(r_{2} + R_{x}) + E_{2}r_{1}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}; \phi_{2} = \frac{E_{2}(r_{1} + R_{x}) + E_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}$.
В силу линейности схемы, содержащей только постоянные резисторы и две «эквивалентные батарейки», ток через любой резистор $R_{k}$ может быть представлен в виде линейной комбинации
$I_{k} = \alpha_{k} \phi_{1} + \beta \phi_{2} = \frac{ \alpha_{k} (E_{1} (r_{2} + R_{x}) + E_{2}r_{1}) + \beta_{k}(E_{2}(r_{1} + R_{x}) + E_{1}r_{2})}{r_{1} + r_{2} + R_{x}} = \frac{A_{k} + R_{x} B_{k}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}$.
В числителе полученного выражения находится линейная функция от величины переменного резистора $R_{x}$. Такая функция может обратиться в 0 при изменении $R_{x}$ от 0 до бесконечности максимум один раз. Знаменатель всегда положителен. Следовательно, знак тока через какой-либо постоянный резистор если и изменяется при росте переменного резистора $R_{x}$ от нуля до бесконечности, то только один раз.
Ответ. Нет, такая схема невозможна.
Рассматриваются электрические схемы, состоящие только из резисторов. Один резистор переменный ($R_{x}$), остальные фиксированные. К двум контактам схемы подключён источник постоянного напряжения (оно не зависит от сопротивления схемы).
Возможна ли такая схема, в которой при монотонном изменении сопротивления резистора $R_{x}$ смена направления тока на противоположное через какой-то постоянный резистор $R_{0}$ происходит более одного раза?
Решение:
Любой «чёрный ящик», внутри которого находятся идеальные батарейки (одна или несколько, или даже ни одной!) и любым образом соединённые идеальные резисторы, из которого выведены два провода, можно представить в виде эквивалентной батарейки с некоторой ЭДС $E$ и некоторым внутренним сопротивлением $r$. Измерить эти параметры можно так. 1. Подключаем к этим выводам идеальный вольтметр — получаем величину и знак ЭДС. 2. Подключаем к этим выводам идеальный амперметр — получаем ток короткого замыкания $i$ эквивалентной батарейки. Отсюда находится её внутреннее сопротивление $r = E/I$. Какой бы мы ни подключили к означенным выводам резистор с сопротивлением $R \neq 0$, ток через него будет равен $I = E/(R + r)$.
В данном случае можно рассматривать «чёрный ящик» с тремя выводами: один — это, например, отрицательный вывод батарейки (3), а два других —это точки подключения переменного резистора — (1) и (2). Для удобства пару точек (1) и (3) можно формально считать выводами одной «виртуальной» неидеальной батарейки, а пару точек (2) и (3) — выводами другой «виртуальной» неидеальной батарейки.
Пусть эти батарейки имеют ЭДС $E_{1}$ и $E_{2}$ и внутренние сопротивления $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно.
Потенциалы точек подключения концов сопротивления $R_{x}$ равны:
$\phi_{1} = E_{1} - \frac{(E_{1} - E_{2})r_{1}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}} = \frac{E_{1}(r_{2} + R_{x}) + E_{2}r_{1}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}; \phi_{2} = \frac{E_{2}(r_{1} + R_{x}) + E_{1}r_{2}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}$.
В силу линейности схемы, содержащей только постоянные резисторы и две «эквивалентные батарейки», ток через любой резистор $R_{k}$ может быть представлен в виде линейной комбинации
$I_{k} = \alpha_{k} \phi_{1} + \beta \phi_{2} = \frac{ \alpha_{k} (E_{1} (r_{2} + R_{x}) + E_{2}r_{1}) + \beta_{k}(E_{2}(r_{1} + R_{x}) + E_{1}r_{2})}{r_{1} + r_{2} + R_{x}} = \frac{A_{k} + R_{x} B_{k}}{r_{1} + r_{2} + R_{x}}$.
В числителе полученного выражения находится линейная функция от величины переменного резистора $R_{x}$. Такая функция может обратиться в 0 при изменении $R_{x}$ от 0 до бесконечности максимум один раз. Знаменатель всегда положителен. Следовательно, знак тока через какой-либо постоянный резистор если и изменяется при росте переменного резистора $R_{x}$ от нуля до бесконечности, то только один раз.
Ответ. Нет, такая схема невозможна.
