Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5465
2017-11-29 
Пенопластовый цилиндр длиной $L = 1 м$ с прикреплённым на одном из его концов грузом плавает в озере, сохраняя вертикальное положение. Чтобы медленно «утопить» цилиндр, давя на него вертикальной силой, нужно совершить минимальную работу $A_{1} = 2 Дж$. Чтобы медленно вытащить цилиндр из воды, вытягивая его вертикальной силой, нужно совершить минимальную работу $A_{2} = 16 Дж$. Какова масса цилиндра с грузом? Считать $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Пусть сечение стержня $S$, его длина равна $L$, а глубина погружения его нижнего конца в положении равновесия равна $l$. Тогда масса стержня вместе с грузом равна произведению объёма его погруженной части на плотность воды $\rho$:
$M = \rho Sl$.
Когда цилиндр утапливается, он перемещается вниз на расстояние $x_{1} = L - l$, а также «выдавливает» из под себя объём воды $V_{2} = x_{1} S$. Центр масс этой воды ранее находился на глубине $x_{2} = l + (x_{1}/2)$, а после погружения цилиндра можно условно считать, что эта вода «растеклась» по поверхности озера. Таким образом, при погружении цилиндра совершается работа
$A_{2} = \rho V_{2} gx_{2} - Mgx_{1} = \rho x_{1} S gx_{2} - \rho S l gx_{1} = \rho gx_{1} S (x_{2} - l) = \rho gx_{1} S \left ( l + \frac{x_{1}}{2} - l \right ) = \rho gx_{1} S \frac{x_{1}}{2} = \frac{ \rho g x_{1}^{2}S}{2} = \frac{ \rho gS ( L - l^{2})}{2}$.
Когда стержень вытаскивается из воды, то совершается работа, равная
$A_{1} = Mgl - \frac{Mgl}{2} = \frac{Mgl}{2} = \frac{ \rho Sl gl}{2} = \frac{ \rho gSl^{2}}{2}$,
так как весь стержень поднимается на высоту, равную глубине его погружения $l$, а в образовавшуюся «ямку» стекает вода. Отсюда
$Sl^{2} = \frac{2A_{1}}{ \rho g}$.
Из составленных соотношений можно найти величину $S$.
$\sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS l^{2}}{2}} + \sqrt{ \frac{ \rho gS ( L- l)^{2}}{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} \left ( \sqrt{ l^{2}} + \sqrt{ (L - l)^{2}} \right )$,
$ \sqrt{A_{1}} + \sqrt{ A_{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} \cdot L$, откуда $\sqrt{ S} = \frac{ \sqrt{2} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}})}{ \sqrt{ \rho g} L}$.
Находим массу стержня
$M = \rho Sl = \rho \sqrt{S} \sqrt{Sl^{2}} = \rho \frac{ \sqrt{2} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}})}{ \sqrt{ \rho g} L} \cdots \sqrt{ \frac{2A_{1}}{ \rho g}} = \frac{2}{gL} \sqrt{A_{1}} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}}) = \frac{2}{gL} (A_{1} + \sqrt{A_{1}A_{2}})$.
Подставляем численные значения
$M = \frac{2}{10 \frac{м}{с^{2}}} (2 Дж + \sqrt{2 Дж \cdot 16 Дж}) = \frac{2}{10} (2 + 4 \sqrt{2}) кг \approx 1,53 кг$.
Ответ. $\approx 1,53 кг$.
Пенопластовый цилиндр длиной $L = 1 м$ с прикреплённым на одном из его концов грузом плавает в озере, сохраняя вертикальное положение. Чтобы медленно «утопить» цилиндр, давя на него вертикальной силой, нужно совершить минимальную работу $A_{1} = 2 Дж$. Чтобы медленно вытащить цилиндр из воды, вытягивая его вертикальной силой, нужно совершить минимальную работу $A_{2} = 16 Дж$. Какова масса цилиндра с грузом? Считать $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Пусть сечение стержня $S$, его длина равна $L$, а глубина погружения его нижнего конца в положении равновесия равна $l$. Тогда масса стержня вместе с грузом равна произведению объёма его погруженной части на плотность воды $\rho$:
$M = \rho Sl$.
Когда цилиндр утапливается, он перемещается вниз на расстояние $x_{1} = L - l$, а также «выдавливает» из под себя объём воды $V_{2} = x_{1} S$. Центр масс этой воды ранее находился на глубине $x_{2} = l + (x_{1}/2)$, а после погружения цилиндра можно условно считать, что эта вода «растеклась» по поверхности озера. Таким образом, при погружении цилиндра совершается работа
$A_{2} = \rho V_{2} gx_{2} - Mgx_{1} = \rho x_{1} S gx_{2} - \rho S l gx_{1} = \rho gx_{1} S (x_{2} - l) = \rho gx_{1} S \left ( l + \frac{x_{1}}{2} - l \right ) = \rho gx_{1} S \frac{x_{1}}{2} = \frac{ \rho g x_{1}^{2}S}{2} = \frac{ \rho gS ( L - l^{2})}{2}$.
Когда стержень вытаскивается из воды, то совершается работа, равная
$A_{1} = Mgl - \frac{Mgl}{2} = \frac{Mgl}{2} = \frac{ \rho Sl gl}{2} = \frac{ \rho gSl^{2}}{2}$,
так как весь стержень поднимается на высоту, равную глубине его погружения $l$, а в образовавшуюся «ямку» стекает вода. Отсюда
$Sl^{2} = \frac{2A_{1}}{ \rho g}$.
Из составленных соотношений можно найти величину $S$.
$\sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS l^{2}}{2}} + \sqrt{ \frac{ \rho gS ( L- l)^{2}}{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} \left ( \sqrt{ l^{2}} + \sqrt{ (L - l)^{2}} \right )$,
$ \sqrt{A_{1}} + \sqrt{ A_{2}} = \sqrt{ \frac{ \rho gS}{2}} \cdot L$, откуда $\sqrt{ S} = \frac{ \sqrt{2} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}})}{ \sqrt{ \rho g} L}$.
Находим массу стержня
$M = \rho Sl = \rho \sqrt{S} \sqrt{Sl^{2}} = \rho \frac{ \sqrt{2} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}})}{ \sqrt{ \rho g} L} \cdots \sqrt{ \frac{2A_{1}}{ \rho g}} = \frac{2}{gL} \sqrt{A_{1}} ( \sqrt{A_{1}} + \sqrt{A_{2}}) = \frac{2}{gL} (A_{1} + \sqrt{A_{1}A_{2}})$.
Подставляем численные значения
$M = \frac{2}{10 \frac{м}{с^{2}}} (2 Дж + \sqrt{2 Дж \cdot 16 Дж}) = \frac{2}{10} (2 + 4 \sqrt{2}) кг \approx 1,53 кг$.
Ответ. $\approx 1,53 кг$.
