Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5463
2017-11-29 
В таблице приводятся характеристики трёх металлов: меди, алюминия и натрия. Из какого металла дешевле всего делать электрические провода (если в качестве затрат учитывать только указанную стоимость металла, использованного для изготовления проводов)?
Решение:
При учёте исключительно стоимости металла оказывается, что электрические провода дешевле всего делать из натрия. Однако такие провода практически не используются ввиду того, что другие параметры металлического натрия (кроме стоимости) являются неудачными для изготовления проводов.
Решение. Определим объём $V$ металла плотностью $\rho$, необходимый для изготовления провода длиной $L$ и сопротивлением $R$.
$R = \rho_{эл} \frac{L}{S} = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{SL} = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{V}$,
$V = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
Масса этого металла
$m = \rho V = \rho \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
Стоимость $\Sigma$ этого металла
$\Sigma = Cm = C \rho V = C \rho \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
(здесь использованы обозначения: $C$ —цена единицы массы металла, $\rho_{эл}$ — удельное электрическое сопротивление).
Сомножитель $\frac{L^{2}}{R}$ одинаков для провода из любого материала. Поэтому нужно подобрать такой материал, для которого минимально произведение $C \rho \rho_{эл}$.
Видно, что «экономическая эффективность» меди в качестве материала для изготовления проводов примерно в 6 раз хуже, чем алюминия. Но из-за мягкости и хрупкости алюминия его невозможно использовать, например, в качестве материала для проводов контактной сети электротранспорта. А для проводов сети уличного освещения или бытовой стационарной электросети алюминиевые провода вполне годятся.
Натрий, несмотря на то, что он немного «дешевле» алюминия, использовать для изготовления проводов крайне затруднительно — этот металл окисляется на воздухе, бурно реагирует с водой и очень непрочен.
Примечание. Цены на металлы в рублях приведены на конец лета 2008 года и получены путём усреднения найденных в интернете параметров предложений о покупке и продаже таких металлов. Для анализа были отобраны только экономически оправданные данные (например, цены на химически-чистые металлы существенно выше, но для изготовления проводов такая чистота не требуется).
В таблице приводятся характеристики трёх металлов: меди, алюминия и натрия. Из какого металла дешевле всего делать электрические провода (если в качестве затрат учитывать только указанную стоимость металла, использованного для изготовления проводов)?
| металл | плотность $\rho, кг/м^{3}$ | стоимость, С, руб/кг | удельное электрическое сопротивление $\rho_{эл}, Ом \cdot м$ |
| алюминий | 2700 | 71 | $27,1 \cdot 10^{-9}$ |
| медь | 8940 | 203 | $17,8 \cdot 10^{-9}$ |
| натрий | 968 | 120 | $43,0 \cdot 10^{-9}$ |
Решение:
При учёте исключительно стоимости металла оказывается, что электрические провода дешевле всего делать из натрия. Однако такие провода практически не используются ввиду того, что другие параметры металлического натрия (кроме стоимости) являются неудачными для изготовления проводов.
Решение. Определим объём $V$ металла плотностью $\rho$, необходимый для изготовления провода длиной $L$ и сопротивлением $R$.
$R = \rho_{эл} \frac{L}{S} = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{SL} = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{V}$,
$V = \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
Масса этого металла
$m = \rho V = \rho \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
Стоимость $\Sigma$ этого металла
$\Sigma = Cm = C \rho V = C \rho \rho_{эл} \frac{L^{2}}{R}$.
(здесь использованы обозначения: $C$ —цена единицы массы металла, $\rho_{эл}$ — удельное электрическое сопротивление).
Сомножитель $\frac{L^{2}}{R}$ одинаков для провода из любого материала. Поэтому нужно подобрать такой материал, для которого минимально произведение $C \rho \rho_{эл}$.
| металл | плотность $\rho, кг/м^{3}$ | стоимость, С, руб/кг | удельное электрическое сопротивление $\rho_{эл}, Ом \cdot м$ | $C \rho \rho_{эл}, руб / \frac{м^{2}}{Ом}$ |
| алюминий | 2700 | 71 | $27,1 \cdot 10^{-9}$ | $5,1950700 \cdot 10^{-3}$ |
| медь | 8940 | 203 | $17,8 \cdot 10^{-9}$ | $3,2303796 \cdot 10^{-2}$ |
| натрий | 968 | 120 | $43,0 \cdot 10^{-9}$ | $4,9948800 \cdot 10^{-3}$ |
Видно, что «экономическая эффективность» меди в качестве материала для изготовления проводов примерно в 6 раз хуже, чем алюминия. Но из-за мягкости и хрупкости алюминия его невозможно использовать, например, в качестве материала для проводов контактной сети электротранспорта. А для проводов сети уличного освещения или бытовой стационарной электросети алюминиевые провода вполне годятся.
Натрий, несмотря на то, что он немного «дешевле» алюминия, использовать для изготовления проводов крайне затруднительно — этот металл окисляется на воздухе, бурно реагирует с водой и очень непрочен.
Примечание. Цены на металлы в рублях приведены на конец лета 2008 года и получены путём усреднения найденных в интернете параметров предложений о покупке и продаже таких металлов. Для анализа были отобраны только экономически оправданные данные (например, цены на химически-чистые металлы существенно выше, но для изготовления проводов такая чистота не требуется).
