Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5460
2017-11-26 
На рис. приведено изображение окружности в собирающей линзе. $AA^{ \prime}$ — главная оптическая ось этой линзы. Пользуясь рисунком, восстановите расположение линзы, её фокусное расстояние, положение и радиус окружности. Окружность, её изображение и ось $AA^{ \prime}$ лежат в плоскости рисунка. При построении изображения использовалось приближение параксиальных лучей.
Решение:
Поскольку изображение окружности уходит на бесконечность, исходная окружность касается фокальной плоскости линзы. Чтобы исследовать свойства изображения окружности рассмотрим некоторое расположение окружности и линзы, обозначим крайнюю левую, верхнюю, правую и нижнюю точки окружности через A, B, C и D (см. рис. 1). 1) Касательная к точке A вертикальна, поэтому и касательная к изображению этой точки должна быть вертикальна (при отображении в линзе линия, перпендикулярная главной оптической оси, отображается в также перпендикулярную линию). Отсюда следует, что точка $A^{ \prime}$ на рис. 2 (касательная к которой — пунктир — вертикальна) является изображением в линзе точки A. 2) Все лучи, проходящие через точку C после линзы станут параллельными. Поскольку изображение точки С уходит на бесконечность, эти лучи параллельны асимптотам изображения (прямым к которым приближается изображение на бесконечности). Луч АС после линзы также станет им параллелен. С другой стороны, АС параллельна главной оптической оси, и значит после линзы идёт в фокус. Отсюда следует построение фокуса линзы: строим асимптоты изображения, проводим через точку $A^{ \prime}$ прямую, параллельную асимптотам. Точка пересечения её с главной оптической офю фокус (см. рис. 2). 3) Лучи, выходящие из точек В и D, параллельные главной оптической оси, после линзы пройдут через фокус и попадут в точки $B^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$ изображения соответственно. С другой стороны, эти лучи являются касательными к исходной окружности, значит и после преломления они станут касательными к изображению (касательные переходят в касательные). Отсюда — построение точек $B^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$: строим касательные к изображению, проходящие через F. Внимание, проверка правильности построения: точки В и D лежали на одной вертикали, значит и точки $B^{ \prime}, D^{ \prime}$ должны лежать на одной вертикали (см. рис. 3, отрезок $B^{ \prime}D^{ \prime}$). 4) Луч АВ, идущий под углом $45^{ \circ} С$ попадёт в фокальной плоскости (ФП) в точку пересечения ФП с лучом, проходящим через центр линзы под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси. Затем, так как этот луч несёт информацию и о точке A, и о точке В, он должен пройти и через точку $A^{ \prime}$, и через точку $B^{ \prime}$ изображения. Отсюда построение центра линзы: проводим луч $A^{ \prime}B^{ \prime}$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси. Точка О — центр линзы (см. рис. 4, точка $A^{ \prime}$ не подписана, чтобы не загромождать рисунок). Внимание, проверка правильности построения: если аналогично рассматривать ход луча AD (проводим луч $A^{ \prime}D^{ \prime}$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси), должна получиться ложение окружности. Воспользуемся обратимостью лучей. Продолжим $A^{ \prime}B^{ \prime}$ до линзы. Поело линзы луч пойдёт под углом $45^{ \circ} С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, и в В). Он должен где-то попасть в точку А. Продолжим $A^{ \prime}D^{ \prime}$ до линзы. После линзы луч также пойдёт под углом $45^{ \circ} С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, ив D). Он тоже должен где-то попасть в точку А. Точка А есть пересечение полученных за линзой лучей (см. рис. 5). Точка С окружности лежит на одной горизонтали с точкой А и принадлежит ФП. Поскольку мы построили диаметр окружности АС, задача решена.
На рис. приведено изображение окружности в собирающей линзе. $AA^{ \prime}$ — главная оптическая ось этой линзы. Пользуясь рисунком, восстановите расположение линзы, её фокусное расстояние, положение и радиус окружности. Окружность, её изображение и ось $AA^{ \prime}$ лежат в плоскости рисунка. При построении изображения использовалось приближение параксиальных лучей.
Решение:
Поскольку изображение окружности уходит на бесконечность, исходная окружность касается фокальной плоскости линзы. Чтобы исследовать свойства изображения окружности рассмотрим некоторое расположение окружности и линзы, обозначим крайнюю левую, верхнюю, правую и нижнюю точки окружности через A, B, C и D (см. рис. 1). 1) Касательная к точке A вертикальна, поэтому и касательная к изображению этой точки должна быть вертикальна (при отображении в линзе линия, перпендикулярная главной оптической оси, отображается в также перпендикулярную линию). Отсюда следует, что точка $A^{ \prime}$ на рис. 2 (касательная к которой — пунктир — вертикальна) является изображением в линзе точки A. 2) Все лучи, проходящие через точку C после линзы станут параллельными. Поскольку изображение точки С уходит на бесконечность, эти лучи параллельны асимптотам изображения (прямым к которым приближается изображение на бесконечности). Луч АС после линзы также станет им параллелен. С другой стороны, АС параллельна главной оптической оси, и значит после линзы идёт в фокус. Отсюда следует построение фокуса линзы: строим асимптоты изображения, проводим через точку $A^{ \prime}$ прямую, параллельную асимптотам. Точка пересечения её с главной оптической офю фокус (см. рис. 2). 3) Лучи, выходящие из точек В и D, параллельные главной оптической оси, после линзы пройдут через фокус и попадут в точки $B^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$ изображения соответственно. С другой стороны, эти лучи являются касательными к исходной окружности, значит и после преломления они станут касательными к изображению (касательные переходят в касательные). Отсюда — построение точек $B^{ \prime}$ и $D^{ \prime}$: строим касательные к изображению, проходящие через F. Внимание, проверка правильности построения: точки В и D лежали на одной вертикали, значит и точки $B^{ \prime}, D^{ \prime}$ должны лежать на одной вертикали (см. рис. 3, отрезок $B^{ \prime}D^{ \prime}$). 4) Луч АВ, идущий под углом $45^{ \circ} С$ попадёт в фокальной плоскости (ФП) в точку пересечения ФП с лучом, проходящим через центр линзы под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси. Затем, так как этот луч несёт информацию и о точке A, и о точке В, он должен пройти и через точку $A^{ \prime}$, и через точку $B^{ \prime}$ изображения. Отсюда построение центра линзы: проводим луч $A^{ \prime}B^{ \prime}$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси. Точка О — центр линзы (см. рис. 4, точка $A^{ \prime}$ не подписана, чтобы не загромождать рисунок). Внимание, проверка правильности построения: если аналогично рассматривать ход луча AD (проводим луч $A^{ \prime}D^{ \prime}$ до пересечения с ФП и затем из полученной точки пересечения строим отрезок под углом $45^{ \circ} С$ к главной оптической оси), должна получиться ложение окружности. Воспользуемся обратимостью лучей. Продолжим $A^{ \prime}B^{ \prime}$ до линзы. Поело линзы луч пойдёт под углом $45^{ \circ} С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, и в В). Он должен где-то попасть в точку А. Продолжим $A^{ \prime}D^{ \prime}$ до линзы. После линзы луч также пойдёт под углом $45^{ \circ} С$ (так как дальше этот луч должен пойти и в А, ив D). Он тоже должен где-то попасть в точку А. Точка А есть пересечение полученных за линзой лучей (см. рис. 5). Точка С окружности лежит на одной горизонтали с точкой А и принадлежит ФП. Поскольку мы построили диаметр окружности АС, задача решена.
