Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5459
2017-11-26 
На рисунке изображён четырёхугольник (см. рис.). Укажите, где надо располагать собирающую линзу, и чему должно быть равно её фокусное расстояние, чтобы его изображение имело форму
1) параллелограмма;
2) прямоугольника;
3) квадрата?
Задачу решать графически.
Решение:
Рассмотрим, при каком условии четырёхугольник станет параллелограммом, т. е. изображения его противоположных сторон окажутся параллельными. Лучи, идущие вдоль сторон четырёхугольника окажутся после прохождения линзы параллельными, если их пересечение попадает в фокальную плоскость линзы (см. рис. 1). Построим эти пересечения — точки A и B (см. рис. 2) и проведём прямую AB. Любая линза, для которой AB — фокальная плоскость, отобразит четырёхугольник в параллелограмм. Чтобы параллелограмм оказался прямоугольником, необходимо, чтобы лучи, идущие вдоль смежных сторон четырёхугольника, после прохождения линзы стали взаимно перпендикулярными. Рассмотрим такие лучи — $A_{1}A$ и $B_{1}B$ (AB по-прежнему фокальная плоскость линзы). Пусть эти лучи, встретившись в некоторых точках с линзой, преломились, и оказались перпендикулярными друг другу. Рассмотрим лучи, которые проходят через центр линзы, параллельные этим двум преломленным (лучи $A_{2}A$ и $B_{2}B$). Эти лучи не преломляются и пересекаются в точке O (центре линзы), и, с другой стороны, в фокальной плоскости попадают в точки A и B соответственно (все параллельные друг другу до линзы лучи после линзы собираются в одну точку, лежащую в фокальной плоскости), поэтому треугольник AOB является прямоугольным. Геометрическое место точек O, образующих вместе с отрезком AB прямоугольный треугольник — полуокружность, построенная на AB как на диаметре. Итак, любая линза, у которой AB — фокальная плоскость, а центр линзы лежит на построенной полуокружности (см. рис. 3) переводит наш четырёхугольник в прямоугольник. Чтобы прямоугольник оказался квадратом, его диагонали должны быть взаимно перпендикулярны. Таким образом, лучи, идущие вдоль диагоналей исходного четырёхугольника, после прохождения линзы должны стать взаимно перпендикулярными. Построим точки C и D — точки пересечения этих лучей с фокальной плоскостью. Рассуждая как в предыдущем пункте, несложно показать, что образы диагоналей взаимно перпендикулярны, если центр линзы лежит на полуокружности, построенной на CD как на диаметре. Поскольку теперь центр линзы принадлежит двум полуокружностям, мы однозначно определили его положение — точку X. Итак, линза, с центром в точке X, расположенная параллельно отрезку AB и имеющая фокальную плоскость AB, переводит данный по условию четырёхугольник в квадрат.
На рисунке изображён четырёхугольник (см. рис.). Укажите, где надо располагать собирающую линзу, и чему должно быть равно её фокусное расстояние, чтобы его изображение имело форму
1) параллелограмма;
2) прямоугольника;
3) квадрата?
Задачу решать графически.
Решение:
Рассмотрим, при каком условии четырёхугольник станет параллелограммом, т. е. изображения его противоположных сторон окажутся параллельными. Лучи, идущие вдоль сторон четырёхугольника окажутся после прохождения линзы параллельными, если их пересечение попадает в фокальную плоскость линзы (см. рис. 1). Построим эти пересечения — точки A и B (см. рис. 2) и проведём прямую AB. Любая линза, для которой AB — фокальная плоскость, отобразит четырёхугольник в параллелограмм. Чтобы параллелограмм оказался прямоугольником, необходимо, чтобы лучи, идущие вдоль смежных сторон четырёхугольника, после прохождения линзы стали взаимно перпендикулярными. Рассмотрим такие лучи — $A_{1}A$ и $B_{1}B$ (AB по-прежнему фокальная плоскость линзы). Пусть эти лучи, встретившись в некоторых точках с линзой, преломились, и оказались перпендикулярными друг другу. Рассмотрим лучи, которые проходят через центр линзы, параллельные этим двум преломленным (лучи $A_{2}A$ и $B_{2}B$). Эти лучи не преломляются и пересекаются в точке O (центре линзы), и, с другой стороны, в фокальной плоскости попадают в точки A и B соответственно (все параллельные друг другу до линзы лучи после линзы собираются в одну точку, лежащую в фокальной плоскости), поэтому треугольник AOB является прямоугольным. Геометрическое место точек O, образующих вместе с отрезком AB прямоугольный треугольник — полуокружность, построенная на AB как на диаметре. Итак, любая линза, у которой AB — фокальная плоскость, а центр линзы лежит на построенной полуокружности (см. рис. 3) переводит наш четырёхугольник в прямоугольник. Чтобы прямоугольник оказался квадратом, его диагонали должны быть взаимно перпендикулярны. Таким образом, лучи, идущие вдоль диагоналей исходного четырёхугольника, после прохождения линзы должны стать взаимно перпендикулярными. Построим точки C и D — точки пересечения этих лучей с фокальной плоскостью. Рассуждая как в предыдущем пункте, несложно показать, что образы диагоналей взаимно перпендикулярны, если центр линзы лежит на полуокружности, построенной на CD как на диаметре. Поскольку теперь центр линзы принадлежит двум полуокружностям, мы однозначно определили его положение — точку X. Итак, линза, с центром в точке X, расположенная параллельно отрезку AB и имеющая фокальную плоскость AB, переводит данный по условию четырёхугольник в квадрат.
