Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5458
2017-11-26 
Изображение квадрата, построенное в некоторой собирающей линзе, представляет из себя две ломаные, уходящие на бесконечность (см. рис.). Пользуясь рисунком, восстановите размер квадрата, фокусное расстояние линзы и её положение.
Решение:
Из симметрии картинки очевидно, что квадрат расположен симметрично относительно главной оптической оси линзы $OO^{ \prime}$. Так как две стороны изображения параллельны друг другу, ясно, что две стороны квадрата перпендикулярны $OO^{ \prime}$. Поскольку изображение по условию «рваное», понятно, что фокус линзы расположен внутри квадрата. Построим изображение квадрата ABCD в линзе $HH^{ \prime}$ с фокусами в точках F и $F^{ \prime}$ (см. рис. 1). Чтобы построить изображение точки A, построим луч $ABHFA^{ \prime}$ (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $AA^{ \prime}$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении этих лучей лежит $A^{ \prime}$ — изображение точки A. Аналогично строим лучи $DCH^{ \prime} FD$ и $DD^{ \prime}$ и находим положение $D^{ \prime}$ — изображения точки D. Чтобы построить изображение точки B, построим луч BHF (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $BB^{ \prime}$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении продолжения этих лучей лежит $B^{ \prime}$ — изображение точки B. Аналогично строим лучи $CH^{ \prime}F$ и $CC^{ \prime}$ и находим положение $C^{ \prime}$ — изображения точки C. Из построения изображения видно, что фокус линзы лежит на пересечении линий $B^{ \prime }A^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$. Значит, соединив на предложенной картинке аналогичные точки получим положение фокуса линзы. Проведём через него главную оптическую ось перпендикулярно $A^{ \prime}D^{ \prime}$ и $C^{ \prime}B^{ \prime}$ (см. рис. 2). Обозначим через $R = 18$ и $r = 9$ размеры половин параллельных сторон изображения, через $Y = 27$ — расстояние между ними, через $d = 9$ — расстояние от действительного (уменьшенного) изображения до фокуса. Все эти размеры можно снять с рис..Обозначим неизвестные: $a$ — половина стороны квадрата, $f$ — фокусное расстояние линзы, $b$ — расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата ($b = |BH|$). Треугольники $FD^{ \prime}E^{ \prime}$ и $FH^{ \prime}U$ ($U$ — центр линзы), $UD^{ \prime}E^{ \prime}$ и $UDE$, $ULB$ и $UL^{ \prime}B^{ \prime}$ — подобны, поэтому
$\frac{FE^{ \prime}}{E^{ \prime} D^{ \prime}} = \frac{FU}{UH^{ \prime}} \Rightarrow \frac{d}{r} = \frac{f}{a} \frac{UE^{ \prime}}{E^{ \prime} D^{ \prime}} = \frac{UE}{ED} \Rightarrow \frac{d + f}{r} = \frac{b + 2a}{a} \frac{UL}{LB} = \frac{UL^{ \prime}}{L^{ \prime}B^{ \prime}} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{Y - d - f}{R}$.
Ответ. Фокусное расстояние линзы равно $f = (2R + Y)r/(R + r) - d = 12$ единиц, половина стороны квадрата равна $a = fr/d = 12$ единиц, расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата равно $b = a(Y - d - f)/R = 4$ единицы.
Изображение квадрата, построенное в некоторой собирающей линзе, представляет из себя две ломаные, уходящие на бесконечность (см. рис.). Пользуясь рисунком, восстановите размер квадрата, фокусное расстояние линзы и её положение.
Решение:
Из симметрии картинки очевидно, что квадрат расположен симметрично относительно главной оптической оси линзы $OO^{ \prime}$. Так как две стороны изображения параллельны друг другу, ясно, что две стороны квадрата перпендикулярны $OO^{ \prime}$. Поскольку изображение по условию «рваное», понятно, что фокус линзы расположен внутри квадрата. Построим изображение квадрата ABCD в линзе $HH^{ \prime}$ с фокусами в точках F и $F^{ \prime}$ (см. рис. 1). Чтобы построить изображение точки A, построим луч $ABHFA^{ \prime}$ (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $AA^{ \prime}$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении этих лучей лежит $A^{ \prime}$ — изображение точки A. Аналогично строим лучи $DCH^{ \prime} FD$ и $DD^{ \prime}$ и находим положение $D^{ \prime}$ — изображения точки D. Чтобы построить изображение точки B, построим луч BHF (идущий до линзы параллельно главной оптической оси, а после линзы проходящий через фокус) и луч $BB^{ \prime}$ (проходящий через центр линзы и, следовательно, не преломляющийся в ней). На пересечении продолжения этих лучей лежит $B^{ \prime}$ — изображение точки B. Аналогично строим лучи $CH^{ \prime}F$ и $CC^{ \prime}$ и находим положение $C^{ \prime}$ — изображения точки C. Из построения изображения видно, что фокус линзы лежит на пересечении линий $B^{ \prime }A^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$. Значит, соединив на предложенной картинке аналогичные точки получим положение фокуса линзы. Проведём через него главную оптическую ось перпендикулярно $A^{ \prime}D^{ \prime}$ и $C^{ \prime}B^{ \prime}$ (см. рис. 2). Обозначим через $R = 18$ и $r = 9$ размеры половин параллельных сторон изображения, через $Y = 27$ — расстояние между ними, через $d = 9$ — расстояние от действительного (уменьшенного) изображения до фокуса. Все эти размеры можно снять с рис..Обозначим неизвестные: $a$ — половина стороны квадрата, $f$ — фокусное расстояние линзы, $b$ — расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата ($b = |BH|$). Треугольники $FD^{ \prime}E^{ \prime}$ и $FH^{ \prime}U$ ($U$ — центр линзы), $UD^{ \prime}E^{ \prime}$ и $UDE$, $ULB$ и $UL^{ \prime}B^{ \prime}$ — подобны, поэтому
$\frac{FE^{ \prime}}{E^{ \prime} D^{ \prime}} = \frac{FU}{UH^{ \prime}} \Rightarrow \frac{d}{r} = \frac{f}{a} \frac{UE^{ \prime}}{E^{ \prime} D^{ \prime}} = \frac{UE}{ED} \Rightarrow \frac{d + f}{r} = \frac{b + 2a}{a} \frac{UL}{LB} = \frac{UL^{ \prime}}{L^{ \prime}B^{ \prime}} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{Y - d - f}{R}$.
Ответ. Фокусное расстояние линзы равно $f = (2R + Y)r/(R + r) - d = 12$ единиц, половина стороны квадрата равна $a = fr/d = 12$ единиц, расстояние от линзы до ближайшей стороны квадрата равно $b = a(Y - d - f)/R = 4$ единицы.
