Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5456
2017-11-26 
Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$ и плоского зеркала, расположенного на расстоянии $a$ от линзы ($a > f$) перпендикулярно её главной оптической оси (см. рис.). Постройте все действительные изображения полупрямой AB, расположенной перед линзой на расстоянии $H$ от главной оптической оси.
Решение:
Для построения изображения какой-нибудь точки X, принадлежащей полупрямой AB, необходимо построить в данной оптической системе ход двух лучей, вышедших из точки X. В точке пересечения Y этих лучей будет находиться изображение точки X. Для любой точки X в качестве одного из таких лучей может быть выбран луч $XAF_{1}ZP_{1}M_{1}N_{1}$: луч XA, параллельный главной оптической оси, проходит через фокус линзы $F_{1}$, попадает на зеркало в точке Z, отражается, попадает на линзу в точке $P_{1}$ и преломляется в точку $M_{1}$. Положение точки $M_{1}$ определяется пересечением $OM_{1}$ (параллельного $ZP_{1}$) с фокальной плоскостью $F_{2}M_{1}$ линзы. Так как треугольник $M_{1}F_{0}O$ равен треугольнику $AOF_{1}$ (по трём углам и стороне $F_{2}O = OF_{1}$; равенство отмеченных углов см. на рис. 1), то $F_{2}M_{1} = H$, т. е. точка $M_{1}$ лежит ниже точки $F_{2}$ на Н. Итак, изображение точки X является точкой пересечения луча $XAF_{1} ZP_{1}M_{1}N_{1}$ и ещё какого-нибудь луча, вышедшего из X. Значит, все действительные изображения полупрямой ABВ лежат где-то на луче $XAF_{1}ZP_{1}M_{1}N_{1}$. Все изображения полупрямой AB, возникающие в данной оптической системе, можно разбить на два типа. Первый тип — изображения, возникшие после однократного прохождения светом линзы (участок $AF_{1}ZP_{1}$). Второй тип — изображения, возникающие в результате того, что свет, прошедший через линзу, отразился от зеркала и вторично преломился в линзе (участок $P_{1}M_{1}N_{1}$).Обсудим изображения первого типа. Понятно, что отрезок $AF_{1}$ не содержит изображений ни одной из точек полупрямой AB. Действительно, в качестве второго луча, вышедшего из X, возьмём луч XO, не преломляющийся линзой. Понятно, что он может пересечься с лучом $AF_{1}ZP_{1}$ только ниже главной оптической оси. С другой стороны, для любой точки Y на $F_{1}ZP_{1}$ несложно восстановить её полупрямой AB. Если Y принадлежит $F_{1}Z$, то соответствующий прообраз лежит на продолжении отрезка YO (см. рис. 1). Если же точка Y принадлежит $ZP_{1}$, то для построения её прообраза нужно отразить точку Y в зеркале (см. точку $Y_{1}$ на рис. 2) и соединить $Y_{1}$ и O. На пересечении $Y_{1}O$ с AB лежит X — прообраз точки Y. Итак, любая точка $F_{1}ZP_{1}$ является действительным изображением какой-нибудь точки полупрямой AB. Рассмотрим теперь изображения второго типа. В качестве второго луча, вышедшего из точки X возьмём луч проходящий через фокус $F_{2}$. Луч $XF_{2}$ после прохождения через линзу оказывается параллельным главной оптической оси, затем отражается от зеркала обратно и возвращается «по своим следам». Значит, изображение точки X второго типа лежит на пересечении луча $P_{1}M_{1}N_{1}$ и прямой $XF_{2}$ (см. рис. 3). Пользуясь указанным выше правилом построим рис. 4, на котором покажем, куда попали изображения точек A и B (B — бесконечно удалённая точка полупрямой AB) — получим точки $A_{1}, B_{1}$ соответственно. Также восстановим прообразы точек $P_{1}$ и $N_{1}$ ($N_{1}$ — бесконечно удалённая точка луча $P_{1}M_{1}$), — получим точки P и N. Комментарии к построению: $OO^{ \prime}$ — главная оптическая ось, $B_{1}$ лежит на главной оптической оси, $F_{2}N$ параллельна $P_{1}N_{1}$, изображение точки C совпадает с ней самой. Из рисунка видно, что отрезок AP изображается отрезком $A_{1}P_{1}$, точки луча NB — лучом $N_{1}B_{1}$. Точки отрезка $A_{1}B_{1}$ не являются изображениями никакой из точек полупрямой AB. Точки отрезка PN на AB не дают изображений второго типа.
Ответ. Действительные изображения полупрямой AB, расположенной перед линзой на расстоянии $H$ от главной оптической оси, даётся ломаной $F_{1}ZP_{1}A_{1}$ и полупрямой $B_{1}N_{1}$ на рис. 5.
Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$ и плоского зеркала, расположенного на расстоянии $a$ от линзы ($a > f$) перпендикулярно её главной оптической оси (см. рис.). Постройте все действительные изображения полупрямой AB, расположенной перед линзой на расстоянии $H$ от главной оптической оси.
Решение:
Для построения изображения какой-нибудь точки X, принадлежащей полупрямой AB, необходимо построить в данной оптической системе ход двух лучей, вышедших из точки X. В точке пересечения Y этих лучей будет находиться изображение точки X. Для любой точки X в качестве одного из таких лучей может быть выбран луч $XAF_{1}ZP_{1}M_{1}N_{1}$: луч XA, параллельный главной оптической оси, проходит через фокус линзы $F_{1}$, попадает на зеркало в точке Z, отражается, попадает на линзу в точке $P_{1}$ и преломляется в точку $M_{1}$. Положение точки $M_{1}$ определяется пересечением $OM_{1}$ (параллельного $ZP_{1}$) с фокальной плоскостью $F_{2}M_{1}$ линзы. Так как треугольник $M_{1}F_{0}O$ равен треугольнику $AOF_{1}$ (по трём углам и стороне $F_{2}O = OF_{1}$; равенство отмеченных углов см. на рис. 1), то $F_{2}M_{1} = H$, т. е. точка $M_{1}$ лежит ниже точки $F_{2}$ на Н. Итак, изображение точки X является точкой пересечения луча $XAF_{1} ZP_{1}M_{1}N_{1}$ и ещё какого-нибудь луча, вышедшего из X. Значит, все действительные изображения полупрямой ABВ лежат где-то на луче $XAF_{1}ZP_{1}M_{1}N_{1}$. Все изображения полупрямой AB, возникающие в данной оптической системе, можно разбить на два типа. Первый тип — изображения, возникшие после однократного прохождения светом линзы (участок $AF_{1}ZP_{1}$). Второй тип — изображения, возникающие в результате того, что свет, прошедший через линзу, отразился от зеркала и вторично преломился в линзе (участок $P_{1}M_{1}N_{1}$).Обсудим изображения первого типа. Понятно, что отрезок $AF_{1}$ не содержит изображений ни одной из точек полупрямой AB. Действительно, в качестве второго луча, вышедшего из X, возьмём луч XO, не преломляющийся линзой. Понятно, что он может пересечься с лучом $AF_{1}ZP_{1}$ только ниже главной оптической оси. С другой стороны, для любой точки Y на $F_{1}ZP_{1}$ несложно восстановить её полупрямой AB. Если Y принадлежит $F_{1}Z$, то соответствующий прообраз лежит на продолжении отрезка YO (см. рис. 1). Если же точка Y принадлежит $ZP_{1}$, то для построения её прообраза нужно отразить точку Y в зеркале (см. точку $Y_{1}$ на рис. 2) и соединить $Y_{1}$ и O. На пересечении $Y_{1}O$ с AB лежит X — прообраз точки Y. Итак, любая точка $F_{1}ZP_{1}$ является действительным изображением какой-нибудь точки полупрямой AB. Рассмотрим теперь изображения второго типа. В качестве второго луча, вышедшего из точки X возьмём луч проходящий через фокус $F_{2}$. Луч $XF_{2}$ после прохождения через линзу оказывается параллельным главной оптической оси, затем отражается от зеркала обратно и возвращается «по своим следам». Значит, изображение точки X второго типа лежит на пересечении луча $P_{1}M_{1}N_{1}$ и прямой $XF_{2}$ (см. рис. 3). Пользуясь указанным выше правилом построим рис. 4, на котором покажем, куда попали изображения точек A и B (B — бесконечно удалённая точка полупрямой AB) — получим точки $A_{1}, B_{1}$ соответственно. Также восстановим прообразы точек $P_{1}$ и $N_{1}$ ($N_{1}$ — бесконечно удалённая точка луча $P_{1}M_{1}$), — получим точки P и N. Комментарии к построению: $OO^{ \prime}$ — главная оптическая ось, $B_{1}$ лежит на главной оптической оси, $F_{2}N$ параллельна $P_{1}N_{1}$, изображение точки C совпадает с ней самой. Из рисунка видно, что отрезок AP изображается отрезком $A_{1}P_{1}$, точки луча NB — лучом $N_{1}B_{1}$. Точки отрезка $A_{1}B_{1}$ не являются изображениями никакой из точек полупрямой AB. Точки отрезка PN на AB не дают изображений второго типа.
Ответ. Действительные изображения полупрямой AB, расположенной перед линзой на расстоянии $H$ от главной оптической оси, даётся ломаной $F_{1}ZP_{1}A_{1}$ и полупрямой $B_{1}N_{1}$ на рис. 5.
