Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5454
2017-11-26 
Радиальное магнитное поле убывает по закону $H = \frac{A_{0}}{r^{2}}$, где $A_{0}$ — некоторая константа, а $r$ — расстояние до некоторой точки O. Проводящее кольцо (см. рис.) радиуса $a$ с электрическим сопротивлением $R$ перемещают с постоянной скоростью $V$ вдоль прямой $OO^{ \prime}$. Плоскость кольца перпендикулярна $OO^{ \prime}$, его центр лежит на этой прямой. Какую силу нужно прикладывать к кольцу в каждый момент времени, чтобы перемещать его описанным образом? Силой тяжести пренебречь.
Примечание. Описанное в задаче магнитное поле принадлежит так называемому магнитному монополю (магнитному заряду), который не существует в макромире и не обнаружен в микромире. Однако отдельные области некоторой системы токов или магнитов можно моделировать с помощью подобного поля.
Решение:
Выберем начало отсчёта времени: пусть в момент времени $t$ кольцо находится на расстоянии $x = Vt$ от точки O. Рассмотрим некоторый момент времени $t$. При движении кольца поток магнитного поля $\Phi$ через него меняется. Это приводит к возникновению в кольце ЭДС индукции $E = \Delta \Phi / \Delta t$ и тока $I = E/R$. Поскольку виток такого тока расположен на расстоянии $(a^{2} + x^{2})^{1/2}$ от точки O, он находится в магнитном поле $B = A_{0} /(a^{2} + x^{2})$, и на кольцо действует сила Ампера, проекция которой на ось $OO^{ \prime}$ равна $F = LBI \cos \beta $, где $L = 2 \pi a$ — длина проводника. Направление силы $F$ противоположно направлению скорости. Таким образом,
$F = LBI \cos \beta = 2 \pi a \frac{A_{0} \cos \beta}{(V^{2}t^{2} + a^{2}) \Delta R} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta tR}$.
Осталось выяснить, как меняется ЭДС индукции в кольце со временем, т. е. найти скорость изменения магнитного потока. Для этого рассмотрим кольцо через малый промежуток времени $\Delta t$ после момента $t$. За $\Delta t$ кольцо сдвинулось на $\Delta x$ и изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно магнитному потоку через боковую поверхность цилиндра, которую «замело» кольцо: $\Delta \Phi = SB \cos \beta$, где $S$ — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как высота цилиндра мала, угол между вектором магнитного поля и поверхностью цилиндра можно считать постоянным, $\cos \beta = a/(a^{2} + x^{2})^{1/2}$. Окончательно,
$\Delta \Phi = 2 \pi a \Delta x \frac{A_{0}}{x^{2} + a^{2}} \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + a^{2}}}$.
Подставляя выражение для $\Delta \Phi$ в формулу для силы $F$ и учитывая, что $\Delta x/ \Delta t = V$ получим, что в момент времени на кольцо действует сила
$F = 2 \pi a \frac{A_{0}}{V^{2}t^{2} + a^{2}} 2 \pi a \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \frac{A_{0}}{(x^{2} + a^{2})R} \left ( \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + a^{2}}} \right )^{2} = \frac{4 \pi^{2} a^{4} A_{0}^{2} V}{R(V^{2}t^{2} + a^{2})^{3}}$.
Ответ. Чтобы кольцо в каждый момент времени двигалось равномерно, к нему надо прикладывать силу $F$, предъявленную выше.
Радиальное магнитное поле убывает по закону $H = \frac{A_{0}}{r^{2}}$, где $A_{0}$ — некоторая константа, а $r$ — расстояние до некоторой точки O. Проводящее кольцо (см. рис.) радиуса $a$ с электрическим сопротивлением $R$ перемещают с постоянной скоростью $V$ вдоль прямой $OO^{ \prime}$. Плоскость кольца перпендикулярна $OO^{ \prime}$, его центр лежит на этой прямой. Какую силу нужно прикладывать к кольцу в каждый момент времени, чтобы перемещать его описанным образом? Силой тяжести пренебречь.
Примечание. Описанное в задаче магнитное поле принадлежит так называемому магнитному монополю (магнитному заряду), который не существует в макромире и не обнаружен в микромире. Однако отдельные области некоторой системы токов или магнитов можно моделировать с помощью подобного поля.
Решение:
Выберем начало отсчёта времени: пусть в момент времени $t$ кольцо находится на расстоянии $x = Vt$ от точки O. Рассмотрим некоторый момент времени $t$. При движении кольца поток магнитного поля $\Phi$ через него меняется. Это приводит к возникновению в кольце ЭДС индукции $E = \Delta \Phi / \Delta t$ и тока $I = E/R$. Поскольку виток такого тока расположен на расстоянии $(a^{2} + x^{2})^{1/2}$ от точки O, он находится в магнитном поле $B = A_{0} /(a^{2} + x^{2})$, и на кольцо действует сила Ампера, проекция которой на ось $OO^{ \prime}$ равна $F = LBI \cos \beta $, где $L = 2 \pi a$ — длина проводника. Направление силы $F$ противоположно направлению скорости. Таким образом,
$F = LBI \cos \beta = 2 \pi a \frac{A_{0} \cos \beta}{(V^{2}t^{2} + a^{2}) \Delta R} \frac{ \Delta \Phi}{ \Delta tR}$.
Осталось выяснить, как меняется ЭДС индукции в кольце со временем, т. е. найти скорость изменения магнитного потока. Для этого рассмотрим кольцо через малый промежуток времени $\Delta t$ после момента $t$. За $\Delta t$ кольцо сдвинулось на $\Delta x$ и изменение магнитного потока $\Delta \Phi$ равно магнитному потоку через боковую поверхность цилиндра, которую «замело» кольцо: $\Delta \Phi = SB \cos \beta$, где $S$ — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как высота цилиндра мала, угол между вектором магнитного поля и поверхностью цилиндра можно считать постоянным, $\cos \beta = a/(a^{2} + x^{2})^{1/2}$. Окончательно,
$\Delta \Phi = 2 \pi a \Delta x \frac{A_{0}}{x^{2} + a^{2}} \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + a^{2}}}$.
Подставляя выражение для $\Delta \Phi$ в формулу для силы $F$ и учитывая, что $\Delta x/ \Delta t = V$ получим, что в момент времени на кольцо действует сила
$F = 2 \pi a \frac{A_{0}}{V^{2}t^{2} + a^{2}} 2 \pi a \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \frac{A_{0}}{(x^{2} + a^{2})R} \left ( \frac{a}{ \sqrt{ x^{2} + a^{2}}} \right )^{2} = \frac{4 \pi^{2} a^{4} A_{0}^{2} V}{R(V^{2}t^{2} + a^{2})^{3}}$.
Ответ. Чтобы кольцо в каждый момент времени двигалось равномерно, к нему надо прикладывать силу $F$, предъявленную выше.
