Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5453
2017-11-26 
В сферический сосуд большого радиуса налита несжимаемая, равномерно заряженная жидкость плотности $\rho$ с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Заряд единицы объёма жидкости $\sigma$. В сосуд поместили 2 одинаковых незаряженных маленьких шарика радиуса $r$ плотностью $\rho_{0}$, изготовленных из диэлектрика. Где расположатся шарики? Ускорение свободного падения $g$. Поляризацией шариков пренебречь.
Решение:
В рассматриваемой системе неоднородность давления жидкости вызывается не только силой тяжести, но и кулоновским взаимодействием. Очевидно, давление в жидкости увеличивается с глубиной благодаря силе тяжести. Вдобавок жидкость, будучи заряженной, расталкивает сама себя, в результате чего в слоях, расположенных ближе к центру сосуда, давление меньше, чем в слоях, расположенных снаружи. Это приводит к наличию в жидкости дополнительной силы, действующей аналогично силе Архимеда на плавающие в ней тела и направленной к центру сосуда. Кроме того, тела в такой жидкости будут взаимодействовать друг с другом (даже не будучи заряженными). Представим область внутри шариков в виде суперпозиции положительно заряженной жидкости (как бы проникающей внутрь шариков) отрицательно заряженных шариков, компенсирующих этот заряд. Рассмотрим взаимодействие целого заряженного большого шара радиуса $R$ с плотностью заряда $\sigma$ и маленьких шариков радиуса $r$ с плотностью заряда $- \sigma$. Найдём напряжённость, создаваемую большим шаром внутри себя на расстоянии $x$ от своего центра. Воспользуемся теоремой Гаусса. Выделим мысленно сферу радиуса $x < R$ c центром, совпадающим с центром большого шара. По теореме Гаусса для напряжённости поля справедливо: $E(x)S = Q/ \epsilon \epsilon_{0}$, где $Q = 4 \pi x^{2} \sigma /3$ — заряд, который содержит эта сфера, $S = 4 \pi x^{2}$ — площадь этой сферы. Таким образом, если маленький шарик (с зарядом $q = - 4 \pi r^{3} \sigma /3$) находится на расстоянии x от центра большого шара, на него действует направленная к центру сила
$F(x) = qE(x) = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x$,
что эквивалентно действию пружины с жёсткостью $K = 4 \pi r^{3} \sigma^{2} /9 \epsilon \epsilon_{0}$. Итак, задача свелась к нахождению расположения шариков с зарядами $q$, подвешенными на пружинках жёсткостью $K$ в жидкости плотностью $\rho$ (см. рисунок). На каждый шарик действует сила тяжести $mg = 4 \pi r^{3} \rho_{0} g/3$, кулоновская сила отталкивания от другого шарика — $F_{KL} = q^{2} / 4 \pi \epsilon \epsilon_{0} d^{2}$, где $d$ — расстояние между маленькими шариками в положении равновесия, сила Архимеда $F_{A} = 4 \pi r^{3} \rho g /3$ и сила притяжения к центру большого шара $Kx$. Векторная сумма этих сил должна быть равна нулю, что в проекции на вертикальную и горизонтальную оси даёт соответственно:
$\frac{4}{3} \pi r^{3} ( \rho_{0} - \rho) g = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x \cos \theta, \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} d^{2}} = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x \sin \theta$.
Выражая $x$ из первого уравнения, и подставляя его во второе, с учётом $d = 2x \cos \theta$, имеем $x = 3 \epsilon \epsilon_{0} ( \rho_{0} - \rho )g/ \sigma^{2} \cos \theta$.
Ответ. В зависимости от знака разности плотностей жидкости и шариков, шарики могут расположиться как ниже, так и выше центра большого шара.
В сферический сосуд большого радиуса налита несжимаемая, равномерно заряженная жидкость плотности $\rho$ с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Заряд единицы объёма жидкости $\sigma$. В сосуд поместили 2 одинаковых незаряженных маленьких шарика радиуса $r$ плотностью $\rho_{0}$, изготовленных из диэлектрика. Где расположатся шарики? Ускорение свободного падения $g$. Поляризацией шариков пренебречь.
Решение:
В рассматриваемой системе неоднородность давления жидкости вызывается не только силой тяжести, но и кулоновским взаимодействием. Очевидно, давление в жидкости увеличивается с глубиной благодаря силе тяжести. Вдобавок жидкость, будучи заряженной, расталкивает сама себя, в результате чего в слоях, расположенных ближе к центру сосуда, давление меньше, чем в слоях, расположенных снаружи. Это приводит к наличию в жидкости дополнительной силы, действующей аналогично силе Архимеда на плавающие в ней тела и направленной к центру сосуда. Кроме того, тела в такой жидкости будут взаимодействовать друг с другом (даже не будучи заряженными). Представим область внутри шариков в виде суперпозиции положительно заряженной жидкости (как бы проникающей внутрь шариков) отрицательно заряженных шариков, компенсирующих этот заряд. Рассмотрим взаимодействие целого заряженного большого шара радиуса $R$ с плотностью заряда $\sigma$ и маленьких шариков радиуса $r$ с плотностью заряда $- \sigma$. Найдём напряжённость, создаваемую большим шаром внутри себя на расстоянии $x$ от своего центра. Воспользуемся теоремой Гаусса. Выделим мысленно сферу радиуса $x < R$ c центром, совпадающим с центром большого шара. По теореме Гаусса для напряжённости поля справедливо: $E(x)S = Q/ \epsilon \epsilon_{0}$, где $Q = 4 \pi x^{2} \sigma /3$ — заряд, который содержит эта сфера, $S = 4 \pi x^{2}$ — площадь этой сферы. Таким образом, если маленький шарик (с зарядом $q = - 4 \pi r^{3} \sigma /3$) находится на расстоянии x от центра большого шара, на него действует направленная к центру сила
$F(x) = qE(x) = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x$,
что эквивалентно действию пружины с жёсткостью $K = 4 \pi r^{3} \sigma^{2} /9 \epsilon \epsilon_{0}$. Итак, задача свелась к нахождению расположения шариков с зарядами $q$, подвешенными на пружинках жёсткостью $K$ в жидкости плотностью $\rho$ (см. рисунок). На каждый шарик действует сила тяжести $mg = 4 \pi r^{3} \rho_{0} g/3$, кулоновская сила отталкивания от другого шарика — $F_{KL} = q^{2} / 4 \pi \epsilon \epsilon_{0} d^{2}$, где $d$ — расстояние между маленькими шариками в положении равновесия, сила Архимеда $F_{A} = 4 \pi r^{3} \rho g /3$ и сила притяжения к центру большого шара $Kx$. Векторная сумма этих сил должна быть равна нулю, что в проекции на вертикальную и горизонтальную оси даёт соответственно:
$\frac{4}{3} \pi r^{3} ( \rho_{0} - \rho) g = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x \cos \theta, \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon \epsilon_{0} d^{2}} = \frac{4 \pi r^{3} \sigma^{2}}{9 \epsilon \epsilon_{0}} x \sin \theta$.
Выражая $x$ из первого уравнения, и подставляя его во второе, с учётом $d = 2x \cos \theta$, имеем $x = 3 \epsilon \epsilon_{0} ( \rho_{0} - \rho )g/ \sigma^{2} \cos \theta$.
Ответ. В зависимости от знака разности плотностей жидкости и шариков, шарики могут расположиться как ниже, так и выше центра большого шара.
