2014-06-01
На гладкой горизонтальной поверхности около стенки покоится симметричный брусок массой $m_{1}$ с углублением полусферической формы радиуса $r$ (рис.). Из начального положения без трения соскальзывает маленькая шайба массой $m_{2}$.
Найти максимальную скорость бруска при его последующем движении.
Решение:
До тех пор пока шайба не окажется в наинизшем положении, брусок будет касаться стены. К этому моменту времени шайба приобретет скорость $v$, которую найдем из закона сохранения энергии: $v^{2}=2gr$. При последующем движении системы шайба будет «забираться» на правую половину бруска, все время ускоряя его вправо (рис.), пока наконец скорости шайбы и бруска не сравняются. Далее шайба относительно бруска начнет соскальзывать вниз, при этом, пока она опять не пройдет низшее положение, брусок все еще будет ускоряться. Таким образом, максимальная скорость бруска будет в моменты прохождения шайбой низшего положения при ее движении назад относительно бруска.
Чтобы найти максимальную скорость бруска, запишем закон сохранения импульса после того, как брусок «оторвется» от стены:
$m_{2}\sqrt{2gr} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$.
и закон сохранения энергии для моментов прохождения шайбой низшего положения:
$m_{2}gr = \frac{m_{1}v^{2}_{1}}{2} + \frac{m_{2}v^{2}_{2}}{2}$
Написанная система уравнений имеет два решения:
$1. v_{1}=0, v_{2}=\sqrt{2gr}$,
$2. v_{1}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \sqrt{2gr}, v_{2}=\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} \sqrt{2gr}$.
Решение 1 отвечает моментам времени, когда шайба движется, а брусок находится в покое. Нас интересует решение 2, отвечающее тем моментам времени, когда брусок имеет максимальную скорость:
$v_{1max}=2m_{2} \sqrt{2gr} /(m_{1} + m_{2})$.