Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5449
2017-11-26 
Однородный шар массой $M$, равномерно заряженный по объёму электрическим зарядом $Q$, закреплён на невесомом нерастяжимом канате и вращается в плоскости, перпендикулярной линиям магнитного поля $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Известно, что при удлинении каната в 3 раза сила его натяжения увеличивается в 2 раза. Чему равна величина вектора магнитной индукции, если известно, что после выключения магнитного поля сила натяжения нити стала такой же, как до увеличения длины нити? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
При решении этой задачи следует догадаться о том, что часто используемое в школьном курсе приближение материальной точки в данном случае оказывается заведомо неприменимым (об этом свидетельствует отсутствие прямо пропорциональной зависимости между длиной удерживающего тело каната и силой его натяжения). Стандартная в подобной ситуации «школьная идея» — считать центр масс тела точкой приложения всех действующих на него сил — не выглядит очень убедительной (какова связь между силой Лоренца и центром масс) и, более того, кажется практически бесполезной (вопрос о месте расположения центра масс половины шара лежит далеко за рамками стандартной школьной программы). В связанной со вращающимся телом неинерциальной системе отсчёта сумма всех приложенных к нему сил (сила натяжения каната, приложенные к каждой i точке тела сила инерции и сила Лоренца) должна равняться нулю:
$T_{1} + \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} R_{i} + \sum_{i} \Delta q_{i} B \omega R_{i} = 0$.
Проектирование этого равенства на направление, задаваемое канатом, и введение в явном виде его длины приводит к выражению
$T_{1} = M \omega^{2} L + \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i} + QB \omega L + \sum_{i} \Delta q_{i} B \omega x_{i}$.
Здесь $x_{i}$ — расстояние от точки крепления полусферы на канате до текущего элемента объёма полусферы $\Delta V_{i}$, отсчитываемое по оси OX. Учёт равномерного распределения массы и заряда по объёму полусферы позволяет упростить полученное выражение и привести его к виду
$T_{1} = (M \omega^{2} + QB \omega ) \left ( L + \frac{1}{V} \sum_{i} x_{i} \cdot \Delta V_{i} \right )$.
Выражение для силы натяжения каната после увеличения его длины получается отсюда очевидным образом:
$kT_{1} = \left ( M \omega^{2} + QB \omega )( nL + \frac{1}{V} \sum_{i} x_{i} \cdot \Delta V_{i} \right )$.
Сопоставление двух равенств позволяет найти величину входящей в оба равенства и обозначаемой далее через $S$ суммы по элементам объёма сферы:
$k = \frac{nL + S}{L + S} \Rightarrow S = \frac{n - k}{k - 1} L$.
Условие равенства начальной силы натяжения силе, возникающей после выключения магнитного поля, проводит к равенству:
$(M \omega^{2} + QB \omega )(L + S) = M \omega^{2} (nL + S)$,
из которого легко определяется величина искомого вектора.
Ответ. Величина вектора индукции магнитного поля равна $B = M \omega / Q$.
Однородный шар массой $M$, равномерно заряженный по объёму электрическим зарядом $Q$, закреплён на невесомом нерастяжимом канате и вращается в плоскости, перпендикулярной линиям магнитного поля $B$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Известно, что при удлинении каната в 3 раза сила его натяжения увеличивается в 2 раза. Чему равна величина вектора магнитной индукции, если известно, что после выключения магнитного поля сила натяжения нити стала такой же, как до увеличения длины нити? Сила тяжести отсутствует.
Решение:
При решении этой задачи следует догадаться о том, что часто используемое в школьном курсе приближение материальной точки в данном случае оказывается заведомо неприменимым (об этом свидетельствует отсутствие прямо пропорциональной зависимости между длиной удерживающего тело каната и силой его натяжения). Стандартная в подобной ситуации «школьная идея» — считать центр масс тела точкой приложения всех действующих на него сил — не выглядит очень убедительной (какова связь между силой Лоренца и центром масс) и, более того, кажется практически бесполезной (вопрос о месте расположения центра масс половины шара лежит далеко за рамками стандартной школьной программы). В связанной со вращающимся телом неинерциальной системе отсчёта сумма всех приложенных к нему сил (сила натяжения каната, приложенные к каждой i точке тела сила инерции и сила Лоренца) должна равняться нулю:
$T_{1} + \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} R_{i} + \sum_{i} \Delta q_{i} B \omega R_{i} = 0$.
Проектирование этого равенства на направление, задаваемое канатом, и введение в явном виде его длины приводит к выражению
$T_{1} = M \omega^{2} L + \sum_{i} \Delta m_{i} \omega^{2} x_{i} + QB \omega L + \sum_{i} \Delta q_{i} B \omega x_{i}$.
Здесь $x_{i}$ — расстояние от точки крепления полусферы на канате до текущего элемента объёма полусферы $\Delta V_{i}$, отсчитываемое по оси OX. Учёт равномерного распределения массы и заряда по объёму полусферы позволяет упростить полученное выражение и привести его к виду
$T_{1} = (M \omega^{2} + QB \omega ) \left ( L + \frac{1}{V} \sum_{i} x_{i} \cdot \Delta V_{i} \right )$.
Выражение для силы натяжения каната после увеличения его длины получается отсюда очевидным образом:
$kT_{1} = \left ( M \omega^{2} + QB \omega )( nL + \frac{1}{V} \sum_{i} x_{i} \cdot \Delta V_{i} \right )$.
Сопоставление двух равенств позволяет найти величину входящей в оба равенства и обозначаемой далее через $S$ суммы по элементам объёма сферы:
$k = \frac{nL + S}{L + S} \Rightarrow S = \frac{n - k}{k - 1} L$.
Условие равенства начальной силы натяжения силе, возникающей после выключения магнитного поля, проводит к равенству:
$(M \omega^{2} + QB \omega )(L + S) = M \omega^{2} (nL + S)$,
из которого легко определяется величина искомого вектора.
Ответ. Величина вектора индукции магнитного поля равна $B = M \omega / Q$.
