Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5448
2017-11-26 
Математический маятник массой $m$, имеющий заряд $q$, с длиной нити $l$, помещён в сильное однородное магнитное поле, вектор индукции которого равен $B$ и направлен вертикально вверх. Найдите круговые частоты этого маятника. За какое время плоскость качаний маятника сделает полный оборот?
Решение:
Предлагаемая задача, в принципе, может быть решена устно, без выписывания и решения дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания маятника. Помочь в этом может задача о движении заряженного шарика в вертикальном магнитном поле, предлагавшаяся на одном из районных туров олимпиады. Если бы речь шла не о маятнике, а о заряженном шарике, летающем в плоскости, перпендикулярной направлению силовых линий магнитного поля, ответ был бы хорошо известен: $\tau_{0} = 2 \pi | \omega_{B}|^{-1}$, где $\omega_{B} = |q \cdot B| /m$ — циклотронная частота. В чём заключается основное отличие ситуации с маятником? Прежде всего, колебательное движение маятника приводит к тому, что заряженный шарик движется в поступательном направлении только половину периода. Шарику, подвешенному на нити, потребуется, таким образом, ровно в два раза больше времени, чтобы совершить полный оборот в плоскости перпендикулярной магнитному полю. Отсюда сразу получаем правильный ответ: $2 \tau_{0} = tau$. Однако, корректное решение задачи должно включать в себя также анализ условий, при которых колебания маятника можно действительно считать малыми. Ниже мы приводим полное решение задачи. Начнём с качественной оценки влияния магнитного поля на колебания маятника. В присутствии магнитного поля на заряженный шарик действует сила Лоренца, которая искривляет траекторию шарика. Если сила Лоренца мала по сравнению с возвращающей силой, то в течение полупериода магнитное поле будет лишь слегка искривлять траекторию шарика. Тогда движение шарика можно представить как колебания в вертикальной плоскости, которая сама медленно поворачивается. Выполняется ли условие малости силы Лоренца? В ходе решения мы убедимся, что необходимое условие выполняется на практике с огромным запасом. Другой интересной особенностью предлагаемой задачи является то, что рассматриваемый колебательный процесс двумерен и сводится к круговым колебаниям. Его динамическое описание требует двух координат. Далее, вследствие того, что индукция магнитного поля является псевдовекторной величиной (её направление зависит от выбора ориентации системы координат), вращение плоскости колебаний маятника по часовой стрелке и против неё не равноправны. На примере этой задачи мы встретимся с уникальной ситуацией, когда круговые частоты колебательных движений маятника, соответствующие различным направлениям вращения плоскости колебаний, не совпадают! Наконец, отметим глубокую физическую аналогию рассматриваемой задачи с задачей о маятнике Фуко. В обоих случаях плоскость качаний поворачивается, а вращение по и против часовой стрелки происходит с разными угловыми скоростями. Это происходит вследствие действия псевдовекторной силы: в первом случае — это сила Лоренца, а во втором — сила Кориолиса — сила инерции, связанная с переходом наблюдателя в неинер-циальную (вращающуюся) систему отсчёта. Разъясним возникновение силы Кориолиса на простом примере с маятником. Представим себе, что вначале маятник расположен точно над северным полюсом нашей планеты. Наблюдатель, который не вращается вместе с Землёй, а сохраняет постоянную ориентацию относительно звёздного неба увидит, что маятник колеблется в фиксированной плоскости с постоянным периодом колебаний, формула которого хорошо известна: $T = 2 \pi \sqrt{l/g}$. Наблюдатель, стоящий на Земле и вращающийся вместе с ней, увидит, однако, что плоскость качаний маятника поворачивается по часовой стрелке со скоростью 1 оборот в сутки (но, относительно звёздного неба, плоскость остаётся неподвижна). С точки зрения последнего наблюдателя (поскольку он вращается вместе с Землёй) круговые частоты маятников не совпадают: при вращении против часовой стрелки $\omega_{1} = \omega_{0} - \omega_{3}$, а по часовой стрелке — $\omega_{2} = \omega_{0} + \omega_{3}$. Прежде всего проверим, что сила Лоренца действительно мала по сравнению с возвращающей силой. Выполнение этого условия необходимо, чтобы задачу можно было считать линейной. Ниже мы предъявили отношение максимальных величин силы Лоренца и возвращающей силы,
$\frac{F_{Л max}}{F_{В max}} \approx \frac{qBv_{max}}{mg \alpha} = \frac{qB}{m} \sqrt{ \frac{l}{g}} \ll 1$.
Величина отношения на практике очень мала из-за того, что заряд шарика в реальных условиях не превосходит $\cong 10^{-8} Кл$. В противном случае, поскольку радиус шарика по условию очень маленький («математический маятник»), потенциал шарика будет величиной порядка $10^{4} В$ (при оценке предположили, что радиус шарика равен 1 см), после чего наступает электрический пробой воздуха. Оценка величины отношения сил, таким образом, даёт $\cong 10^{-5}$, и условие малости силы Лоренца заведомо выполняется. Введём систему координат, начало которой находится в точке подвеса (см. рис.). Тогда уравнение движения шарика имеет вид:
$m \vec{a} = m \vec{g}+ \vec{T} + \vec{F}_{Л}$.
С учётом малости угла отклонения нити, в линейном приближении (это обеспечивается условием малости отношения сил), проекции этого уравнения на оси координат:
$\begin{cases} x^{ \prime \prime} = - \omega_{0}^{2} x + \omega_{В}y^{ \prime}, \\ y^{ \prime \prime} = - \omega_{0}^{2} y - \omega_{В}x^{ \prime} \end{cases}$, где $\omega_{В} = \frac{qB}{m}$ и $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
Здесь мы ввели две круговых частоты — частоту вращения свободной заряженной частицы по круговой орбите в магнитном поле и частоту колебаний маятника в отсутствии магнитного поля. Условие малости силы Лоренца, таким образом, эквивалентно условию $\omega_{В} \ll \omega_{0}$). Только в этом случае проекция векторного уравнения движения сводится к системе линейных дифференциальных уравнений. Последнее особенно важно, поскольку вследствие линейности уравнений их общее решение может быть представлено в виде суммы простых гармонических движений и, значит, целиком находится в рамках программы средней школы. Интересуясь гармоническими решениями системы уравнений движения, подставим в них формальные решения вида $x = A \cos \omega t, y = A \sin \omega t$. На классе гармонических функций процесс решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, сведётся к решению квадратного «характеристического» уравнения $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - \omega_{В} \cdot \omega$. Его корни — собственные круговые частоты вращательных колебаний маятника в магнитном поле:
$\omega_{1,2} = - \frac{ \omega_{0}}{2} \pm \sqrt{ \omega_{0}^{2} + \frac{ \omega_{В}^{2}}{4}} \approx - \frac{ \omega_{В}}{2} \pm \omega_{0}$, так как $\omega_{В} \ll \omega_{0}$.
Теперь, подставим найденные собственные частоты в формальные гармонические решения и выпишем их в явном виде:
$x = A \cos \omega_{1} t + A \cos \omega_{2} t = 2A \cos \omega_{0} t \cos \frac{ \omega_{В}}{2} t$,
$y = A \sin \omega_{1} t - A \sin | \omega_{2} t | = - 2A \cos \omega_{0} t \sin \frac{ \omega_{В}}{2} t$,
Рассмотрим правые части последних равенств подробнее. Очевидно, что полученные решения представляют собой «круговые биения»: колебания маятника с частотой $\omega_{0}$ «модулируются» процессом с более низкой частотой $\omega_{В}$ — медленным поворотом плоскости качаний маятника вследствие его взаимодействия с вертикально ориентированным магнитным полем. Форма траекторий, которые описывает при этом маятник зависят от отношения круговых частот в аргументах гармонических функций. Если эти частоты кратны друг другу, за достаточное время траектория маятника заметает некоторый симметричный многоугольник. Если отношение частот — рациональное число, то маятник заметает со временем почти весь круг радиуса $2A$. Если отношение иррационально — маятник, со временем, заметет весь круг. Если частоты равны, маятник описывает окружность. Круговая частота в рассматриваемом процессе равна $\omega_{В}/2 = qB/2m$. Отсюда непосредственно следует правильный ответ.
Ответ. Плоскость качаний маятника сделает полный оборот за время $\tau =4 \pi m/ | qB|$.
Математический маятник массой $m$, имеющий заряд $q$, с длиной нити $l$, помещён в сильное однородное магнитное поле, вектор индукции которого равен $B$ и направлен вертикально вверх. Найдите круговые частоты этого маятника. За какое время плоскость качаний маятника сделает полный оборот?
Решение:
Предлагаемая задача, в принципе, может быть решена устно, без выписывания и решения дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания маятника. Помочь в этом может задача о движении заряженного шарика в вертикальном магнитном поле, предлагавшаяся на одном из районных туров олимпиады. Если бы речь шла не о маятнике, а о заряженном шарике, летающем в плоскости, перпендикулярной направлению силовых линий магнитного поля, ответ был бы хорошо известен: $\tau_{0} = 2 \pi | \omega_{B}|^{-1}$, где $\omega_{B} = |q \cdot B| /m$ — циклотронная частота. В чём заключается основное отличие ситуации с маятником? Прежде всего, колебательное движение маятника приводит к тому, что заряженный шарик движется в поступательном направлении только половину периода. Шарику, подвешенному на нити, потребуется, таким образом, ровно в два раза больше времени, чтобы совершить полный оборот в плоскости перпендикулярной магнитному полю. Отсюда сразу получаем правильный ответ: $2 \tau_{0} = tau$. Однако, корректное решение задачи должно включать в себя также анализ условий, при которых колебания маятника можно действительно считать малыми. Ниже мы приводим полное решение задачи. Начнём с качественной оценки влияния магнитного поля на колебания маятника. В присутствии магнитного поля на заряженный шарик действует сила Лоренца, которая искривляет траекторию шарика. Если сила Лоренца мала по сравнению с возвращающей силой, то в течение полупериода магнитное поле будет лишь слегка искривлять траекторию шарика. Тогда движение шарика можно представить как колебания в вертикальной плоскости, которая сама медленно поворачивается. Выполняется ли условие малости силы Лоренца? В ходе решения мы убедимся, что необходимое условие выполняется на практике с огромным запасом. Другой интересной особенностью предлагаемой задачи является то, что рассматриваемый колебательный процесс двумерен и сводится к круговым колебаниям. Его динамическое описание требует двух координат. Далее, вследствие того, что индукция магнитного поля является псевдовекторной величиной (её направление зависит от выбора ориентации системы координат), вращение плоскости колебаний маятника по часовой стрелке и против неё не равноправны. На примере этой задачи мы встретимся с уникальной ситуацией, когда круговые частоты колебательных движений маятника, соответствующие различным направлениям вращения плоскости колебаний, не совпадают! Наконец, отметим глубокую физическую аналогию рассматриваемой задачи с задачей о маятнике Фуко. В обоих случаях плоскость качаний поворачивается, а вращение по и против часовой стрелки происходит с разными угловыми скоростями. Это происходит вследствие действия псевдовекторной силы: в первом случае — это сила Лоренца, а во втором — сила Кориолиса — сила инерции, связанная с переходом наблюдателя в неинер-циальную (вращающуюся) систему отсчёта. Разъясним возникновение силы Кориолиса на простом примере с маятником. Представим себе, что вначале маятник расположен точно над северным полюсом нашей планеты. Наблюдатель, который не вращается вместе с Землёй, а сохраняет постоянную ориентацию относительно звёздного неба увидит, что маятник колеблется в фиксированной плоскости с постоянным периодом колебаний, формула которого хорошо известна: $T = 2 \pi \sqrt{l/g}$. Наблюдатель, стоящий на Земле и вращающийся вместе с ней, увидит, однако, что плоскость качаний маятника поворачивается по часовой стрелке со скоростью 1 оборот в сутки (но, относительно звёздного неба, плоскость остаётся неподвижна). С точки зрения последнего наблюдателя (поскольку он вращается вместе с Землёй) круговые частоты маятников не совпадают: при вращении против часовой стрелки $\omega_{1} = \omega_{0} - \omega_{3}$, а по часовой стрелке — $\omega_{2} = \omega_{0} + \omega_{3}$. Прежде всего проверим, что сила Лоренца действительно мала по сравнению с возвращающей силой. Выполнение этого условия необходимо, чтобы задачу можно было считать линейной. Ниже мы предъявили отношение максимальных величин силы Лоренца и возвращающей силы,
$\frac{F_{Л max}}{F_{В max}} \approx \frac{qBv_{max}}{mg \alpha} = \frac{qB}{m} \sqrt{ \frac{l}{g}} \ll 1$.
Величина отношения на практике очень мала из-за того, что заряд шарика в реальных условиях не превосходит $\cong 10^{-8} Кл$. В противном случае, поскольку радиус шарика по условию очень маленький («математический маятник»), потенциал шарика будет величиной порядка $10^{4} В$ (при оценке предположили, что радиус шарика равен 1 см), после чего наступает электрический пробой воздуха. Оценка величины отношения сил, таким образом, даёт $\cong 10^{-5}$, и условие малости силы Лоренца заведомо выполняется. Введём систему координат, начало которой находится в точке подвеса (см. рис.). Тогда уравнение движения шарика имеет вид:
$m \vec{a} = m \vec{g}+ \vec{T} + \vec{F}_{Л}$.
С учётом малости угла отклонения нити, в линейном приближении (это обеспечивается условием малости отношения сил), проекции этого уравнения на оси координат:
$\begin{cases} x^{ \prime \prime} = - \omega_{0}^{2} x + \omega_{В}y^{ \prime}, \\ y^{ \prime \prime} = - \omega_{0}^{2} y - \omega_{В}x^{ \prime} \end{cases}$, где $\omega_{В} = \frac{qB}{m}$ и $\omega_{0} = \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
Здесь мы ввели две круговых частоты — частоту вращения свободной заряженной частицы по круговой орбите в магнитном поле и частоту колебаний маятника в отсутствии магнитного поля. Условие малости силы Лоренца, таким образом, эквивалентно условию $\omega_{В} \ll \omega_{0}$). Только в этом случае проекция векторного уравнения движения сводится к системе линейных дифференциальных уравнений. Последнее особенно важно, поскольку вследствие линейности уравнений их общее решение может быть представлено в виде суммы простых гармонических движений и, значит, целиком находится в рамках программы средней школы. Интересуясь гармоническими решениями системы уравнений движения, подставим в них формальные решения вида $x = A \cos \omega t, y = A \sin \omega t$. На классе гармонических функций процесс решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, сведётся к решению квадратного «характеристического» уравнения $\omega^{2} = \omega_{0}^{2} - \omega_{В} \cdot \omega$. Его корни — собственные круговые частоты вращательных колебаний маятника в магнитном поле:
$\omega_{1,2} = - \frac{ \omega_{0}}{2} \pm \sqrt{ \omega_{0}^{2} + \frac{ \omega_{В}^{2}}{4}} \approx - \frac{ \omega_{В}}{2} \pm \omega_{0}$, так как $\omega_{В} \ll \omega_{0}$.
Теперь, подставим найденные собственные частоты в формальные гармонические решения и выпишем их в явном виде:
$x = A \cos \omega_{1} t + A \cos \omega_{2} t = 2A \cos \omega_{0} t \cos \frac{ \omega_{В}}{2} t$,
$y = A \sin \omega_{1} t - A \sin | \omega_{2} t | = - 2A \cos \omega_{0} t \sin \frac{ \omega_{В}}{2} t$,
Рассмотрим правые части последних равенств подробнее. Очевидно, что полученные решения представляют собой «круговые биения»: колебания маятника с частотой $\omega_{0}$ «модулируются» процессом с более низкой частотой $\omega_{В}$ — медленным поворотом плоскости качаний маятника вследствие его взаимодействия с вертикально ориентированным магнитным полем. Форма траекторий, которые описывает при этом маятник зависят от отношения круговых частот в аргументах гармонических функций. Если эти частоты кратны друг другу, за достаточное время траектория маятника заметает некоторый симметричный многоугольник. Если отношение частот — рациональное число, то маятник заметает со временем почти весь круг радиуса $2A$. Если отношение иррационально — маятник, со временем, заметет весь круг. Если частоты равны, маятник описывает окружность. Круговая частота в рассматриваемом процессе равна $\omega_{В}/2 = qB/2m$. Отсюда непосредственно следует правильный ответ.
Ответ. Плоскость качаний маятника сделает полный оборот за время $\tau =4 \pi m/ | qB|$.
