Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5446
2017-11-26 
Пластины плоского конденсатора площадью $S$ и массой $m$ соединены пружиной жёсткостью $k$, изготовленной из изолятора (см. рис.). Длина недеформированной пружины $L$. Конденсатор зарядили до заряда $q$. Затем его разряжают через сопротивление $R$, замыкая ключ. Какая теплота выделится на сопротивлении в случае, когда разряд происходит быстро? Какая теплота выделится в случае, когда разряд происходит медленно?
Решение:
Обозначим, $\sigma = q/S$ — плотность заряда пластин, $d$ — расстояние между пластинами, $x$ — сжатие пружины. Найдём, насколько первоначально сжата пружина. Воспользуемся для этого условием, что первоначально пластина конденсатора находится в равновесии под действием кулоновской силы притяжения к другой пластине и силы отталкивания пружины: $kx = Eq$. Напряжённость поля одной пластины $E = \sigma /(2 \epsilon_{0})$. Поэтому в положении равновесия $x = q^{2}/ 2 \epsilon_{0} Sk$. Энергия, запасённая первоначально в конденсаторе равна $W_{k} = q^{2}/(2C)$. С учётом выражения для ёмкости $C = \epsilon_{0} S/d$ (где $d = L - x$), несложно получить: $W_{k} = q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/4 \epsilon_{0} S^{2} k$. Запасённая в пружине энергия суть $W_{пр} = k x^{2}/2 = q^{4}/8 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$. При медленном разряде механические колебания не возбуждаются, поэтому на сопротивлении выделится как энергия, запасённая в конденсаторе, так и энергия пружины $W_{1} = W_{k} + W_{пр}$. При быстром разряде в виде тепла выделится только электрическая энергия, а упругая перейдёт в колебания обкладок. Поэтому, в данном случае, на сопротивлении выделится энергия $W_{2} = W_{k}$.
Ответ. При медленном разряде выделится теплота $q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/8 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$, а при быстром — $q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/4 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$.
Примечание. Скорость разряда определяется соотношением параметров задачи. Динамика процесса описывается системой уравнений: $I = U/R = Ed/R, ma = qE - kx$, которую с учётом выражений для $E, d, x$ можно переписать в следующем виде:
$I = \frac{dq}{dt} = \frac{L - x}{R \epsilon_{0} S }q; m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - kx + \frac{q^{2}}{2 \epsilon_{0} S}$.
Поэтому характерное время колебательного процесса $t_{k} \sim (m/k)^{1/2}$, а характерное время электрического разряда конденсатора $t_{k} \sim RC$. Случай $t_{пр} \ll t_{k}$ соответствует медленному разряду, а $t_{пр} \gg t_{k}$ — быстрому.
Пластины плоского конденсатора площадью $S$ и массой $m$ соединены пружиной жёсткостью $k$, изготовленной из изолятора (см. рис.). Длина недеформированной пружины $L$. Конденсатор зарядили до заряда $q$. Затем его разряжают через сопротивление $R$, замыкая ключ. Какая теплота выделится на сопротивлении в случае, когда разряд происходит быстро? Какая теплота выделится в случае, когда разряд происходит медленно?
Решение:
Обозначим, $\sigma = q/S$ — плотность заряда пластин, $d$ — расстояние между пластинами, $x$ — сжатие пружины. Найдём, насколько первоначально сжата пружина. Воспользуемся для этого условием, что первоначально пластина конденсатора находится в равновесии под действием кулоновской силы притяжения к другой пластине и силы отталкивания пружины: $kx = Eq$. Напряжённость поля одной пластины $E = \sigma /(2 \epsilon_{0})$. Поэтому в положении равновесия $x = q^{2}/ 2 \epsilon_{0} Sk$. Энергия, запасённая первоначально в конденсаторе равна $W_{k} = q^{2}/(2C)$. С учётом выражения для ёмкости $C = \epsilon_{0} S/d$ (где $d = L - x$), несложно получить: $W_{k} = q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/4 \epsilon_{0} S^{2} k$. Запасённая в пружине энергия суть $W_{пр} = k x^{2}/2 = q^{4}/8 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$. При медленном разряде механические колебания не возбуждаются, поэтому на сопротивлении выделится как энергия, запасённая в конденсаторе, так и энергия пружины $W_{1} = W_{k} + W_{пр}$. При быстром разряде в виде тепла выделится только электрическая энергия, а упругая перейдёт в колебания обкладок. Поэтому, в данном случае, на сопротивлении выделится энергия $W_{2} = W_{k}$.
Ответ. При медленном разряде выделится теплота $q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/8 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$, а при быстром — $q^{2} L/2 \epsilon_{0} S - q^{4}/4 \epsilon_{0}^{2} S^{2} k$.
Примечание. Скорость разряда определяется соотношением параметров задачи. Динамика процесса описывается системой уравнений: $I = U/R = Ed/R, ma = qE - kx$, которую с учётом выражений для $E, d, x$ можно переписать в следующем виде:
$I = \frac{dq}{dt} = \frac{L - x}{R \epsilon_{0} S }q; m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - kx + \frac{q^{2}}{2 \epsilon_{0} S}$.
Поэтому характерное время колебательного процесса $t_{k} \sim (m/k)^{1/2}$, а характерное время электрического разряда конденсатора $t_{k} \sim RC$. Случай $t_{пр} \ll t_{k}$ соответствует медленному разряду, а $t_{пр} \gg t_{k}$ — быстрому.
