Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5442
2017-11-26 
Над гладкой деревянной поверхностью на высоте $H$ закреплён положительный точечный заряд $Q$. На поверхности разместили три маленьких отрицательно заряженных тела с зарядами $- q$. Одно тело удерживают непосредственно под зарядом $Q$, а два других — на одинаковом расстоянии от него с противоположных сторон (см. рис.). Тела на поверхности отпускают, и они приходят в движение. Через некоторое время, вследствие незначительного трения о воздух, тела останавливаются. Найдите взаимное расположение тел после остановки в случае, если а) $Q \gg q$ б) $Q \ll q$; в) $q = 0,75Q$. Трением о поверхность пренебречь. Считать, что тела настолько тяжелы, что они не отрываются от поверхности.
Решение:
Если в системе установилось равновесие, когда заряды образовали плоскую конфигурацию, изображённую на рис. i, то их взаимное расположение однозначно задаётся углом $\alpha$. Пронумеруем заряды как показано на рисунке. Обозначим силу электростатического взаимодействия между i-м и j-м зарядами $F_{ij}$. Тогда условие неподвижности второго заряда запишется в виде:
$F_{12} \cos \alpha = F_{23} + F_{24}$.
Выпишем выражения для сил:
$F_{12} = \frac{kQq}{(H / \sin \alpha)^{2}}, F_{23} = \frac{kq^{2}}{H \cdot ctg \alpha}, F_{24} = \frac{kq^{2}}{(2J ctg \alpha )^{2}}, k \equiv \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$.
и найдём $\cos \alpha = (5q/4Q)^{1/3}$. Такая конфигурация равновесна, если $5q < 4Q$. Однако, возможна и другая — тетраэдральная конфигурация зарядов, изображённая на рис. 2. Она однозначно задаётся углом $\beta$.
Условие равновесия электростатических сил запишется для неё в виде $F_{12} \cos \beta = F_{23} \cos \pi /6 + F_{24} \cos \pi /6$, где
$F_{12} = \frac{kQq}{(H / \sin \beta)^{2}}, F_{23} = F_{24} = \frac{kq^{2}}{3H^{2} ctg^{2} \beta}$,
что позволяет найти угол $\cos \beta = (q/Q \sqrt{3})^{1/3}$.
Очевидно, что конфигурация устойчива, если $q/Q \leq \sqrt{3}$. Наконец, возможно такое равновесие, когда два из зарядов $q$ улетели бесконечно далеко, а третий заряд расположился непосредственно под $Q$. В действительности, реализуется та конфигурация, которая доставляет системе минимум энергии. В третьем случае, когда два заряда находятся на бесконечности, энергия системы равна $E_{0} = - kqQ/H$. В первом случае (плоская конфигурация, см. рис. i) энергия системы $E_{1}$ есть сумма энергий парных электростатических взаимодействий:
$U_{13} = - E_{0} = \frac{U_{12}}{ \sin \alpha } = \frac{U_{14}}{ \sin \alpha}, U_{23} = U_{34} = 2U_{13}= \frac{kq^{2}}{H ctg \alpha}$.
В результате суммирования вкладов получаем $E_{1} = - E_{0}/2Q \cdot (5q \cdot tg \alpha - 4Q \sin \alpha)$ где $\alpha$ — угол, соответствующий равновесной конфигурации. В случае тетраэдрической конфигурации зарядов (рис. 2) энергии парных взаимодействий суть:
$W_{12} = W_{13} = W_{14} = - E_{0} \sin \beta, W_{24} = W_{23} = W_{34} = k q^{2}/( \sqrt{3} H ctg \beta)$.
Их сумма — $E_{2} = - E_{0} ( \sqrt{3} tg \beta - 3Q \sin \beta)$, где угол $\beta$ даёт равновесную конфигурацию зарядов. На рис. 3 мы построили зависимости энергий $E_{1}$ и $E_{2}$ (нормированных на $E_{0}$) от отношения зарядов $q/Q$. Из графика видно, что при малых $q/Q$ меньшей энергией обладает вторая конфигурация (пунктирная линия), она и оказывается более устойчивой (конфигурации с энергией $E_{0}$ соответствовала бы горизонтальная прямая $E = 1$). Если $q/Q > 0,716$, первая конфигурация может стать более энергетически выгодной, чем вторая, однако, она не может реализоваться, если $q/Q > 4/5$ (вертикальная линия на рис. 3). Когда $q/Q > \sqrt{3}$, распадается и вторая конфигурация. Устойчивой при больших $q/Q$ становится третья конфигурация, с двумя зарядами на бесконечности.
Ответ. При $Q \gg q$ заряды расположатся в вершинах тетраэдра с углом при основании $\beta = arccos ([q/ Q \sqrt{3}]^{1/3})$. Когда $0,716 Q < q < 0,8 Q$, заряды расположатся в плоскости, как это показано на рис. Угол при основании треугольника будет равен $\alpha = arccos([5q/4 \sqrt{3}]^{1/3})$. Наконец, когда $q > \sqrt{3} Q$, два заряда $q$ уйдут на бесконечность, а третий — расположится непосредственно под $Q$.
Над гладкой деревянной поверхностью на высоте $H$ закреплён положительный точечный заряд $Q$. На поверхности разместили три маленьких отрицательно заряженных тела с зарядами $- q$. Одно тело удерживают непосредственно под зарядом $Q$, а два других — на одинаковом расстоянии от него с противоположных сторон (см. рис.). Тела на поверхности отпускают, и они приходят в движение. Через некоторое время, вследствие незначительного трения о воздух, тела останавливаются. Найдите взаимное расположение тел после остановки в случае, если а) $Q \gg q$ б) $Q \ll q$; в) $q = 0,75Q$. Трением о поверхность пренебречь. Считать, что тела настолько тяжелы, что они не отрываются от поверхности.
Решение:
Если в системе установилось равновесие, когда заряды образовали плоскую конфигурацию, изображённую на рис. i, то их взаимное расположение однозначно задаётся углом $\alpha$. Пронумеруем заряды как показано на рисунке. Обозначим силу электростатического взаимодействия между i-м и j-м зарядами $F_{ij}$. Тогда условие неподвижности второго заряда запишется в виде:
$F_{12} \cos \alpha = F_{23} + F_{24}$.
Выпишем выражения для сил:
$F_{12} = \frac{kQq}{(H / \sin \alpha)^{2}}, F_{23} = \frac{kq^{2}}{H \cdot ctg \alpha}, F_{24} = \frac{kq^{2}}{(2J ctg \alpha )^{2}}, k \equiv \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}$.
и найдём $\cos \alpha = (5q/4Q)^{1/3}$. Такая конфигурация равновесна, если $5q < 4Q$. Однако, возможна и другая — тетраэдральная конфигурация зарядов, изображённая на рис. 2. Она однозначно задаётся углом $\beta$.
Условие равновесия электростатических сил запишется для неё в виде $F_{12} \cos \beta = F_{23} \cos \pi /6 + F_{24} \cos \pi /6$, где
$F_{12} = \frac{kQq}{(H / \sin \beta)^{2}}, F_{23} = F_{24} = \frac{kq^{2}}{3H^{2} ctg^{2} \beta}$,
что позволяет найти угол $\cos \beta = (q/Q \sqrt{3})^{1/3}$.
Очевидно, что конфигурация устойчива, если $q/Q \leq \sqrt{3}$. Наконец, возможно такое равновесие, когда два из зарядов $q$ улетели бесконечно далеко, а третий заряд расположился непосредственно под $Q$. В действительности, реализуется та конфигурация, которая доставляет системе минимум энергии. В третьем случае, когда два заряда находятся на бесконечности, энергия системы равна $E_{0} = - kqQ/H$. В первом случае (плоская конфигурация, см. рис. i) энергия системы $E_{1}$ есть сумма энергий парных электростатических взаимодействий:
$U_{13} = - E_{0} = \frac{U_{12}}{ \sin \alpha } = \frac{U_{14}}{ \sin \alpha}, U_{23} = U_{34} = 2U_{13}= \frac{kq^{2}}{H ctg \alpha}$.
В результате суммирования вкладов получаем $E_{1} = - E_{0}/2Q \cdot (5q \cdot tg \alpha - 4Q \sin \alpha)$ где $\alpha$ — угол, соответствующий равновесной конфигурации. В случае тетраэдрической конфигурации зарядов (рис. 2) энергии парных взаимодействий суть:
$W_{12} = W_{13} = W_{14} = - E_{0} \sin \beta, W_{24} = W_{23} = W_{34} = k q^{2}/( \sqrt{3} H ctg \beta)$.
Их сумма — $E_{2} = - E_{0} ( \sqrt{3} tg \beta - 3Q \sin \beta)$, где угол $\beta$ даёт равновесную конфигурацию зарядов. На рис. 3 мы построили зависимости энергий $E_{1}$ и $E_{2}$ (нормированных на $E_{0}$) от отношения зарядов $q/Q$. Из графика видно, что при малых $q/Q$ меньшей энергией обладает вторая конфигурация (пунктирная линия), она и оказывается более устойчивой (конфигурации с энергией $E_{0}$ соответствовала бы горизонтальная прямая $E = 1$). Если $q/Q > 0,716$, первая конфигурация может стать более энергетически выгодной, чем вторая, однако, она не может реализоваться, если $q/Q > 4/5$ (вертикальная линия на рис. 3). Когда $q/Q > \sqrt{3}$, распадается и вторая конфигурация. Устойчивой при больших $q/Q$ становится третья конфигурация, с двумя зарядами на бесконечности.
Ответ. При $Q \gg q$ заряды расположатся в вершинах тетраэдра с углом при основании $\beta = arccos ([q/ Q \sqrt{3}]^{1/3})$. Когда $0,716 Q < q < 0,8 Q$, заряды расположатся в плоскости, как это показано на рис. Угол при основании треугольника будет равен $\alpha = arccos([5q/4 \sqrt{3}]^{1/3})$. Наконец, когда $q > \sqrt{3} Q$, два заряда $q$ уйдут на бесконечность, а третий — расположится непосредственно под $Q$.
