2017-11-26
Пластины плоского конденсатора, присоединённого к источнику с напряжением $U$, расположены на расстоянии $d$ друг от друга. С отрицательно заряженной пластины вылетают без начальной скорости электроны, которые, притягиваясь к противоположной пластине, создают очень малый ток через конденсатор. Конденсатор помещают в однородное магнитное поле. Каково наименьшее значение магнитной индукции, запирающее ток через конденсатор? Масса электрона $m$, заряд $e$, краевыми эффектами в конденсаторе пренебречь. Направление магнитного поля перпендикулярно плоскости рисунка.
Решение:
Если поместить конденсатор в магнитное поле, перпендикулярное плоскости рисунка, то траектории электронов будут искривляться силой Лоренца. Если поле окажется достаточно сильным, то электрон может и не достигнуть противоположной пластины конденсатора. Рассмотрим электрон в некоторой точке его траектории. Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси OX и OY:
$eE - eBV_{Y} = ma_{X}, eBV_{X} = ma_{Y}$.
Обозначения стандартные, направление магнитного поля указано на рисунке. Последние уравнения справедливы для каждого момента времени и могут быть обобщены для конечных интервалов времени. Например, из последнего равенства следует, что $eBx = mV_{Y}$. Если к моменту времени, когда электрон пролетел вдоль оси OX расстояние $d$, проекция его скорости на ось OX обратилась в ноль, то $d$ — максимальное удаление электрона от левой пластины, а соответствующее $B_{П}$ — предельное значение магнитного поля, при котором электрон ещё долетает до правой пластины. Когда $x = d$, кинетическая энергия электрона оказывается больше первоначальной за счёт уменьшения потенциальной энергии электрона: $mV^{2}/2 = eU$. Поскольку в крайней точке траектории $V = V_{Y}$, это позволяет оценить предельное значение магнитного поля.
Ответ. Минимальное однородное магнитное поле, запирающее ток в плоском конденсаторе равно
$B_{П} = \frac{1}{d} \sqrt{ \frac{2Um}{e}}$.