Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5440
2017-11-26 
Незаряженный проволочный каркас имеет форму пирамиды (ABCD — квадрат, точка лежит над его серединой, см. рис. ). Каркас поместили в однородное электрическое поле напряжённостью $E$, направленное вдоль AD. При этом на ребре DC индуцировался заряд $q_{1}$, а на ребре OC — заряд $q_{2}$. Затем каркас развернули так что, поле стало направлено по диагонали квадрата AC. Найдите заряды, индуцированные на каждом ребре каркаса в этом случае.
Решение:
Условно можно считать, что металл состоит из положительно заряженных ионов, расположенных в узлах неподвижной кристаллической решётки, и обобществлённых электронов, которые практически свободно перемещаются внутри металла. Поскольку первоначально проволочный каркас не был заряжен, то если поместить его в электрическое поле, сумма зарядов на всех ребрах останется равной нулю: электроны перераспределятся в металле, так что в некоторых местах будет избыток электронов (там индуцируется отрицательный заряд), а в некоторых местах каркаса будет недостаток электронов по сравнению с количеством положительно заряженных ионов (там индуцируется положительный заряд). Электроны будут перемещаться в металле до тех пор, пока на каждый электрон не прекратит действовать внешняя сила. Это происходит, потому что собственное поле, которое порождают индуцированные заряды в металле, полностью компенсирует внешнее поле, в которое поместили проводник. Таким образом, напряжённость электрического поля в металле обращается в нуль. Рассмотрим сначала каркас в поле, параллельном ребру AD.По-скольку система симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину O и параллельной AD, понятно что заряды на ребрах ОСОи OD равны между собой (и равны $q_{2}$). Аналогично равны заряды рёбер OA и ОБ. Докажем, что заряд ребра AB $q_{AB} = - q_{1}$. Рассмотрим ситуацию, когда каркас поместили в поле $E$, направленное вдоль DA (т. е. направленное противоположно исходному). Понятно, что на ребре AB теперь индуцируется заряд $q_{1}$. Теперь рассмотрим систему, когда одновременно включено поле E, направленное вдоль AD, и поле $E$, направленное вдоль DA, так что полное поле в системе отсутствует. Согласно принципу суперпозиции полный заряд на ребре AB в этом случае равен $q_{AB} + q_{1}$. С другой стороны, так как на самом деле в такой системе поля нет, этот заряд должен быть равен нулю, откуда и следует, что $q_{AB} = - q_{1}$. Аналогично доказывается, что заряды рёбер OB и OA равны $ - q_{2}$. Так как полный заряд каркаса равен нулю, а заряды рёбер OA, ОB, ОС, OD, AB, DC в сумме дают ноль, заряды рёбер AD и ВС также должны в сумме давать нуль. С другой стороны, заряды в металле перераспределяются только вдоль направления AD (чтобы компенсировать внешнее поле, параллельное AD). Вдоль направления AB заряды в каркасе не перераспределятся — это создало бы внутри металла поле вдоль AB, которому не чем было бы компенсироваться. Значит, заряды и каждого из рёбер AD и ВС равны нулю. Итак, в случае поля, направленного вдоль AD, распределение зарядов по каркасу изображено на рисунке. Рассмотрим теперь поле $E$, направленное вдоль AC. Его можно рассматривать, как сумму двух полей напряжённостью $E_{1} = E/ \sqrt{2}$ направленных вдоль AD и AB. Так как величина индуцированного заряда прямо пропорциональна силе внешнего поля $q \sim E$ в случае когда включено только поле $E_{1}$ вдоль AD, на ребрах индуцируются следующие заряды:
В случае когда включено только поле $E_{1}$ вдоль AB,на ребрах индуцируются следующие заряды:
Когда включена сумма этих полей, индуцированные заряды также равны сумме зарядов, индуцированных каждым полем:
Незаряженный проволочный каркас имеет форму пирамиды (ABCD — квадрат, точка лежит над его серединой, см. рис. ). Каркас поместили в однородное электрическое поле напряжённостью $E$, направленное вдоль AD. При этом на ребре DC индуцировался заряд $q_{1}$, а на ребре OC — заряд $q_{2}$. Затем каркас развернули так что, поле стало направлено по диагонали квадрата AC. Найдите заряды, индуцированные на каждом ребре каркаса в этом случае.
Решение:
Условно можно считать, что металл состоит из положительно заряженных ионов, расположенных в узлах неподвижной кристаллической решётки, и обобществлённых электронов, которые практически свободно перемещаются внутри металла. Поскольку первоначально проволочный каркас не был заряжен, то если поместить его в электрическое поле, сумма зарядов на всех ребрах останется равной нулю: электроны перераспределятся в металле, так что в некоторых местах будет избыток электронов (там индуцируется отрицательный заряд), а в некоторых местах каркаса будет недостаток электронов по сравнению с количеством положительно заряженных ионов (там индуцируется положительный заряд). Электроны будут перемещаться в металле до тех пор, пока на каждый электрон не прекратит действовать внешняя сила. Это происходит, потому что собственное поле, которое порождают индуцированные заряды в металле, полностью компенсирует внешнее поле, в которое поместили проводник. Таким образом, напряжённость электрического поля в металле обращается в нуль. Рассмотрим сначала каркас в поле, параллельном ребру AD.По-скольку система симметрична относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину O и параллельной AD, понятно что заряды на ребрах ОСОи OD равны между собой (и равны $q_{2}$). Аналогично равны заряды рёбер OA и ОБ. Докажем, что заряд ребра AB $q_{AB} = - q_{1}$. Рассмотрим ситуацию, когда каркас поместили в поле $E$, направленное вдоль DA (т. е. направленное противоположно исходному). Понятно, что на ребре AB теперь индуцируется заряд $q_{1}$. Теперь рассмотрим систему, когда одновременно включено поле E, направленное вдоль AD, и поле $E$, направленное вдоль DA, так что полное поле в системе отсутствует. Согласно принципу суперпозиции полный заряд на ребре AB в этом случае равен $q_{AB} + q_{1}$. С другой стороны, так как на самом деле в такой системе поля нет, этот заряд должен быть равен нулю, откуда и следует, что $q_{AB} = - q_{1}$. Аналогично доказывается, что заряды рёбер OB и OA равны $ - q_{2}$. Так как полный заряд каркаса равен нулю, а заряды рёбер OA, ОB, ОС, OD, AB, DC в сумме дают ноль, заряды рёбер AD и ВС также должны в сумме давать нуль. С другой стороны, заряды в металле перераспределяются только вдоль направления AD (чтобы компенсировать внешнее поле, параллельное AD). Вдоль направления AB заряды в каркасе не перераспределятся — это создало бы внутри металла поле вдоль AB, которому не чем было бы компенсироваться. Значит, заряды и каждого из рёбер AD и ВС равны нулю. Итак, в случае поля, направленного вдоль AD, распределение зарядов по каркасу изображено на рисунке. Рассмотрим теперь поле $E$, направленное вдоль AC. Его можно рассматривать, как сумму двух полей напряжённостью $E_{1} = E/ \sqrt{2}$ направленных вдоль AD и AB. Так как величина индуцированного заряда прямо пропорциональна силе внешнего поля $q \sim E$ в случае когда включено только поле $E_{1}$ вдоль AD, на ребрах индуцируются следующие заряды:
В случае когда включено только поле $E_{1}$ вдоль AB,на ребрах индуцируются следующие заряды:
Когда включена сумма этих полей, индуцированные заряды также равны сумме зарядов, индуцированных каждым полем:
