Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5439
2017-11-26 
Тонкая равномерно заряженная трубка массы $m$ может скользить без трения вдоль нити. Заряд трубки $Q$, длина $l$. Систему помещают в электрическое поле, изображённое на рис.: в заштрихованных областях поле однородно и имеет напряжённость $E$, в незаштрихованной области шириной $L > l$ поле отсутствует. Найдите период колебаний трубки вдоль нити как функцию амплитуды $A$ колебаний.
Решение:
Пусть в некоторый момент один из концов трубки располагается в области с полем на расстоянии $x$ от границы области, а второй конец — в области без поля. Когда $0 < x < l$, на трубку действует выталкивающая сила $F = - kx$, где мы ввели коэффициент $k = QE/l$. Если бы такая сила действовала бы на трубку всегда (например, при $L = l$ и если колебания не слишком сильные), то она двигалась бы словно под действием пружинки жёсткостью $k$, т. е. совершала бы гармонические колебания с периодом, не зависящим от амплитуды. Введём максимальную длину $X$, на которую трубка заходит в область с полем. Она связана с амплитудой колебаний $A$ соотношением $2A + l = L + 2X$ (см. рис). Предположим, $x$ всегда меньше $l$. Это верно, если $X < l$, т. е. если амплитуда колебаний удовлетворяет соотношению $A < (L + l)/2$. Пусть трубка находится в крайнем правом положении. Тогда, в течение времени $T_{0}/4$, она будет двигаться под действием возвращающей силы $F$, а затем, когда $x$ обратится в 0, попадёт в область без поля. Обозначим $V$ скорость, которую она наберёт к этому моменту. В течение времени $(L - l)/V$ трубка будет двигаться равномерно, а затем снова попадёт в область с полем. Ещё через время $T_{0}/4$ трубка окажется в крайнем левом положении и начнёт движение вправо. Пробыв всего в левой области с полем время $T_{0}/2$, трубка снова вылетит в среднюю область. Таким образом, её период колебаний будет равен $T = T_{0} + 2(L - l)/V$. Скорость $V$ легко найти из закона сохранения энергии, так как это максимальная скорость движения трубки, а значит вся энергия колебаний $kX^{2}/2$ сосредоточена в момент её достижения в кинетической энергии трубки $mV^{2}/2$. Отсюда получаем $V = X(k/m)^{1/2}$. Тогда период колебаний трубки равен
$T = \sqrt{ \frac{m}{k}} \left ( 2 \pi + 2 \frac{L - l}{A + l/2 - L/2} \right ), A < \frac{L + l}{2}$,
Пусть теперь трубка иногда целиком влетает в область с полем ($x$ иногда больше $l$). Пусть снова $X$ — максимальное смещение трубки в область с полем (теперь $X > l$). Движение трубки теперь надо разбивать на 3 этапа: равноускоренное движение, когда трубка целиком расположена в области с полем; движение, когда $0 < x < l$ и работает возвращающая сила; равномерное движение внутри области без поля. Рассмотрим начальное положение трубки в крайнем правом положении (она полностью располагается в области с полем) и найдём момент $t$, когда $x = l$ (когда трубка левым концом достигнет края области поля). Всё это время трубка движется равноускоренно под действием силы $kl$, так что путь $X - l$ она проходит за время
$t = \sqrt{ \frac{2m {X - l}}{kl}}$,
приобретая к этому моменту скорость $u = kl/mt$. За это же время работа сил поля равна $kl(X - l)$. На втором этапе движения, пока трубка не покинула области поля, она ещё более разгоняется — силы поля совершают при этом работу $kl^{2}/2$. Вся работа сил поля превращается в кинетическую энергию трубки к моменту, когда она покидает пределы области с полем. В этот момент её скорость принимает своё максимальное значение
$U = \sqrt{ \frac{2kl(X - l/2)}{m}}$.
Движение трубки гармоническое, значит должно существовать такое время $t_{1}$, что $U \cos (t_{1} \sqrt{k/m}) = u$. В области, где поля нет, трубка движется с постоянной скоростью $U$, преодолевая её за время $(L - l)/U$. Общий период колебаний трубки складывается из 4 промежутков времени $t$, 4 промежутков $t_{1}$ и удвоенного времени $(L - l)/U$. Для получения окончательного ответа просуммируем эти выражения и используем связь между $X$ и $A$.
Ответ. Период колебаний трубки вдоль нити равен
$\begin{cases} \sqrt{ \frac{m}{k}} \left ( 2 \pi + 2 \frac{L - l}{A + l/2 - L/2} \right ), & A < \frac{L + l}{2} , \\ 4 \sqrt{ \frac{m}{k}} arccos \sqrt{ \frac{A - \frac{l}{2} - \frac{L}{2}}{A - \frac{L}{2}}} + \sqrt{2} (L - 1) \sqrt{ \frac{m}{kl \left ( A - \frac{L}{2} \right )}} + 4 \sqrt{2} \sqrt{ \frac{m \left ( A - \frac{l}{2} - \frac{L}{2} \right )}{kl}}, & A > \frac{L + l}{2}. \end{cases}$
Качественный характер зависимости периода (обезразме-ренного) колебаний трубки от амплитуды показан на графике. При маленьких амплитудах зависимость периода от амплитуды гиперболическая. При очень больших амплитудах период растёт как корень из амплитуды. Абсолютный минимум периода колебаний достигается, когда $A = (L + l)/2$.
Тонкая равномерно заряженная трубка массы $m$ может скользить без трения вдоль нити. Заряд трубки $Q$, длина $l$. Систему помещают в электрическое поле, изображённое на рис.: в заштрихованных областях поле однородно и имеет напряжённость $E$, в незаштрихованной области шириной $L > l$ поле отсутствует. Найдите период колебаний трубки вдоль нити как функцию амплитуды $A$ колебаний.
Решение:
Пусть в некоторый момент один из концов трубки располагается в области с полем на расстоянии $x$ от границы области, а второй конец — в области без поля. Когда $0 < x < l$, на трубку действует выталкивающая сила $F = - kx$, где мы ввели коэффициент $k = QE/l$. Если бы такая сила действовала бы на трубку всегда (например, при $L = l$ и если колебания не слишком сильные), то она двигалась бы словно под действием пружинки жёсткостью $k$, т. е. совершала бы гармонические колебания с периодом, не зависящим от амплитуды. Введём максимальную длину $X$, на которую трубка заходит в область с полем. Она связана с амплитудой колебаний $A$ соотношением $2A + l = L + 2X$ (см. рис). Предположим, $x$ всегда меньше $l$. Это верно, если $X < l$, т. е. если амплитуда колебаний удовлетворяет соотношению $A < (L + l)/2$. Пусть трубка находится в крайнем правом положении. Тогда, в течение времени $T_{0}/4$, она будет двигаться под действием возвращающей силы $F$, а затем, когда $x$ обратится в 0, попадёт в область без поля. Обозначим $V$ скорость, которую она наберёт к этому моменту. В течение времени $(L - l)/V$ трубка будет двигаться равномерно, а затем снова попадёт в область с полем. Ещё через время $T_{0}/4$ трубка окажется в крайнем левом положении и начнёт движение вправо. Пробыв всего в левой области с полем время $T_{0}/2$, трубка снова вылетит в среднюю область. Таким образом, её период колебаний будет равен $T = T_{0} + 2(L - l)/V$. Скорость $V$ легко найти из закона сохранения энергии, так как это максимальная скорость движения трубки, а значит вся энергия колебаний $kX^{2}/2$ сосредоточена в момент её достижения в кинетической энергии трубки $mV^{2}/2$. Отсюда получаем $V = X(k/m)^{1/2}$. Тогда период колебаний трубки равен
$T = \sqrt{ \frac{m}{k}} \left ( 2 \pi + 2 \frac{L - l}{A + l/2 - L/2} \right ), A < \frac{L + l}{2}$,
Пусть теперь трубка иногда целиком влетает в область с полем ($x$ иногда больше $l$). Пусть снова $X$ — максимальное смещение трубки в область с полем (теперь $X > l$). Движение трубки теперь надо разбивать на 3 этапа: равноускоренное движение, когда трубка целиком расположена в области с полем; движение, когда $0 < x < l$ и работает возвращающая сила; равномерное движение внутри области без поля. Рассмотрим начальное положение трубки в крайнем правом положении (она полностью располагается в области с полем) и найдём момент $t$, когда $x = l$ (когда трубка левым концом достигнет края области поля). Всё это время трубка движется равноускоренно под действием силы $kl$, так что путь $X - l$ она проходит за время
$t = \sqrt{ \frac{2m {X - l}}{kl}}$,
приобретая к этому моменту скорость $u = kl/mt$. За это же время работа сил поля равна $kl(X - l)$. На втором этапе движения, пока трубка не покинула области поля, она ещё более разгоняется — силы поля совершают при этом работу $kl^{2}/2$. Вся работа сил поля превращается в кинетическую энергию трубки к моменту, когда она покидает пределы области с полем. В этот момент её скорость принимает своё максимальное значение
$U = \sqrt{ \frac{2kl(X - l/2)}{m}}$.
Движение трубки гармоническое, значит должно существовать такое время $t_{1}$, что $U \cos (t_{1} \sqrt{k/m}) = u$. В области, где поля нет, трубка движется с постоянной скоростью $U$, преодолевая её за время $(L - l)/U$. Общий период колебаний трубки складывается из 4 промежутков времени $t$, 4 промежутков $t_{1}$ и удвоенного времени $(L - l)/U$. Для получения окончательного ответа просуммируем эти выражения и используем связь между $X$ и $A$.
Ответ. Период колебаний трубки вдоль нити равен
$\begin{cases} \sqrt{ \frac{m}{k}} \left ( 2 \pi + 2 \frac{L - l}{A + l/2 - L/2} \right ), & A < \frac{L + l}{2} , \\ 4 \sqrt{ \frac{m}{k}} arccos \sqrt{ \frac{A - \frac{l}{2} - \frac{L}{2}}{A - \frac{L}{2}}} + \sqrt{2} (L - 1) \sqrt{ \frac{m}{kl \left ( A - \frac{L}{2} \right )}} + 4 \sqrt{2} \sqrt{ \frac{m \left ( A - \frac{l}{2} - \frac{L}{2} \right )}{kl}}, & A > \frac{L + l}{2}. \end{cases}$
Качественный характер зависимости периода (обезразме-ренного) колебаний трубки от амплитуды показан на графике. При маленьких амплитудах зависимость периода от амплитуды гиперболическая. При очень больших амплитудах период растёт как корень из амплитуды. Абсолютный минимум периода колебаний достигается, когда $A = (L + l)/2$.
