Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5436
2017-11-26 
C наклонной плоскости, расположенной под углом $\alpha$ к горизонту, в вертикальном магнитном поле индукции $B$ скатывается без проскальзывания тонкостенная труба, изготовленная из диэлектрического материала. В трубе сделана тонкая канавка, заполненная металлом, так, что образуется прямоугольный токопроводящий замкнутый контур сопротивления $R$ (см. рис.). Определите среднюю установившуюся скорость скатывания трубы. Длина трубы $L$, диаметр $D$, масса $M$, ускорение свободного падения $g$. Самоиндукцией пренебречь.
Решение:
Когда труба разгоняется, проводящий контур, расположенный на ней, всё быстрее раскручивается во внешнем магнитном поле. При этом возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через контур. Через контур течёт ток, вследствие чего в проводнике выделяется тепло. Чем быстрее крутится контур, тем быстрее меняется поток магнитного поля через контур, тем большее ЭДС возникает в системе и тем большее тепло выделяется в контуре. Всё меньшая часть потенциальной энергии гравитационного поля переходит в кинетическую энергию, так как всё больше энергии переходит в тепло. В некоторый момент времени труба вообще перестаёт разгоняться — устанавливается некоторая средняя скорость $V$ движения трубы. Рассмотрим этот «установившийся» режим. Пусть в некоторый момент контур образует угол $\phi$ с горизонтом (см. рис.). Поток внешнего магнитного поля через контур при этом равен $\Phi = BLD \cos \phi$. Предположим, изменение скорости движения трубы по сравнению со средней мало. Тогда можно ввести угловую скорость трубы $\omega = 2V/D$ и выразить через неё зависимость угла $\phi$ от времени: $\phi = \omega t$. Возникающая ЭДС индукции при этом будет равна, $\mathcal{E} = - d \Phi /dt = BLD \omega \sin (t \omega)$, т.е. в контуре возникает переменное синусоидальное напряжение. Джоулево тепло, выделяющееся в системе в единицу времени будет при этом равно $W(t) = \mathcal{E}^{2}/R$. За один оборот трубы при этом выделится тепло $Q = \Delta tB^{2} L^{2} D^{2} \omega^{2}/2R$, где $\Delta t = \pi D/V$ — период обращения трубы. Этот ответ можно получить, вспомнив определение эффективного напряжения синусоидального источника и выделяющейся на нём мощности, либо непосредственно найдя среднее значение квадрата синуса за период, воспользовавшись представлением $\sin^{2} \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$, и сообразив, что первое слагаемое (1/2) не меняется со временем, а среднее значение косинуса за период равно нулю. За один оборот труба опустится на расстояние $\pi D \sin \alpha$. Соответствующая этому потенциальная энергия $mg \pi D \sin \alpha$ переходит в джоулево тепло. Отсюда следует равенство $mg \pi D \sin \alpha = Q = \frac{ \pi B^{2} L^{2} D^{3} \omega^{2}}{2RV}$, из которого и выражаем установившуюся скорость $V = \frac{Rmg \sin \alpha}{2B^{2} L^{2}}$. Задача, допускает более аккуратное решение, требующее, однако, хорошего владения математическим аппаратом. Действительно, откажемся от предположения о малости изменений скорости трубы в сравнении со средней величиной. Тогда, считая теперь функцию $\phi(t)$ нелинейной, а величину угловой скорости $\omega$ и скорости $V$ зависящими от времени. Выражение для ЭДС индукции примет при этом вид $\mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} = - \frac{d(BLD \cos \phi)}{dt} = BLD omega (t) sin \phi (t)$, а джоулево тепло, выделяющееся в единицу времени, $W(t) = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R} = \frac{ B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi (t)}{R}$. Потенциальная энергия трубы $\Pi = mgh$ переходит в кинетическую энергию трубы $K = mV^{2}$, а также в тепло, $\frac{d \Pi}{dt} + \frac{dK}{dt} + W = 0$. С учетом $\frac{d \Pi }{dt} = - mgV \sin \alpha$ и $\frac{dK}{dt} = 2mV \frac{dV}{dt}$ получим уравнение $ - mgV \sin \alpha + 2mV \frac{dV}{dt} + \frac{ B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi}{R} = 0$, которое легко переписать, выразив $V$ через $\omega$ (с учетом $D \omega /2$), и разделив на $\omega D$, в виде
$\frac{mg \sin \alpha}{2} + \frac{mD}{2} \frac{d \omega}{dt} + \frac{B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi}{R} = 0$.
Проинтегрируем это уравнение на временном интервале $[0, n \Delta t]$ (за время, когда труба, двигаясь в стационарном режиме, совершила большое число $n$ оборотов). При этом в установившемся режиме второе слагаемое можно отбросить (так как оно пропорционально $\int_{0}^{ n \Delta t} \frac{d \omega}{dt} dt = \omega (n \Delta t) - \omega (0)$, и при большом $n$ становится мало по сравнению с остальными вкладами, пропорциональными, как мы увидим, числу оборотов $n$). Это приводит к уравнению
$\frac{mg \sin \alpha n \Delta t}{2} = \frac{B^{2}L^{2}D}{R} \int_{0}^{n \Delta t} \frac{d \phi}{dt} \sin^{2} \phi dt = \frac{B^{2}L^{2}D}{R} \int_{0}^{2 \pi n} \sin^{2} \phi d \phi = \frac{B^{2} L^{2} D \pi n}{R}$,
в котором мы для правой части выполнили уже рассмотренное усреднение по углу $\phi$ величины $\sin^{2} \phi$. Отсюда период оборота колеса $\Delta t = \frac{2B^{2}L^{2}D \pi}{mgR \sin \alpha}$, что после использования очевидной формулы $V_{ср} = \frac{ \pi D}{ \Delta t}$, даёт приведённый в предыдущем пункте ответ.
Ответ. Установившаяся скорость трубы равна $V = \frac{Rmg \sin \alpha}{2B^{2}L^{2}}$.
C наклонной плоскости, расположенной под углом $\alpha$ к горизонту, в вертикальном магнитном поле индукции $B$ скатывается без проскальзывания тонкостенная труба, изготовленная из диэлектрического материала. В трубе сделана тонкая канавка, заполненная металлом, так, что образуется прямоугольный токопроводящий замкнутый контур сопротивления $R$ (см. рис.). Определите среднюю установившуюся скорость скатывания трубы. Длина трубы $L$, диаметр $D$, масса $M$, ускорение свободного падения $g$. Самоиндукцией пренебречь.
Решение:
Когда труба разгоняется, проводящий контур, расположенный на ней, всё быстрее раскручивается во внешнем магнитном поле. При этом возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через контур. Через контур течёт ток, вследствие чего в проводнике выделяется тепло. Чем быстрее крутится контур, тем быстрее меняется поток магнитного поля через контур, тем большее ЭДС возникает в системе и тем большее тепло выделяется в контуре. Всё меньшая часть потенциальной энергии гравитационного поля переходит в кинетическую энергию, так как всё больше энергии переходит в тепло. В некоторый момент времени труба вообще перестаёт разгоняться — устанавливается некоторая средняя скорость $V$ движения трубы. Рассмотрим этот «установившийся» режим. Пусть в некоторый момент контур образует угол $\phi$ с горизонтом (см. рис.). Поток внешнего магнитного поля через контур при этом равен $\Phi = BLD \cos \phi$. Предположим, изменение скорости движения трубы по сравнению со средней мало. Тогда можно ввести угловую скорость трубы $\omega = 2V/D$ и выразить через неё зависимость угла $\phi$ от времени: $\phi = \omega t$. Возникающая ЭДС индукции при этом будет равна, $\mathcal{E} = - d \Phi /dt = BLD \omega \sin (t \omega)$, т.е. в контуре возникает переменное синусоидальное напряжение. Джоулево тепло, выделяющееся в системе в единицу времени будет при этом равно $W(t) = \mathcal{E}^{2}/R$. За один оборот трубы при этом выделится тепло $Q = \Delta tB^{2} L^{2} D^{2} \omega^{2}/2R$, где $\Delta t = \pi D/V$ — период обращения трубы. Этот ответ можно получить, вспомнив определение эффективного напряжения синусоидального источника и выделяющейся на нём мощности, либо непосредственно найдя среднее значение квадрата синуса за период, воспользовавшись представлением $\sin^{2} \omega t = \frac{1 - \cos 2 \omega t}{2}$, и сообразив, что первое слагаемое (1/2) не меняется со временем, а среднее значение косинуса за период равно нулю. За один оборот труба опустится на расстояние $\pi D \sin \alpha$. Соответствующая этому потенциальная энергия $mg \pi D \sin \alpha$ переходит в джоулево тепло. Отсюда следует равенство $mg \pi D \sin \alpha = Q = \frac{ \pi B^{2} L^{2} D^{3} \omega^{2}}{2RV}$, из которого и выражаем установившуюся скорость $V = \frac{Rmg \sin \alpha}{2B^{2} L^{2}}$. Задача, допускает более аккуратное решение, требующее, однако, хорошего владения математическим аппаратом. Действительно, откажемся от предположения о малости изменений скорости трубы в сравнении со средней величиной. Тогда, считая теперь функцию $\phi(t)$ нелинейной, а величину угловой скорости $\omega$ и скорости $V$ зависящими от времени. Выражение для ЭДС индукции примет при этом вид $\mathcal{E} = - \frac{d \Phi}{dt} = - \frac{d(BLD \cos \phi)}{dt} = BLD omega (t) sin \phi (t)$, а джоулево тепло, выделяющееся в единицу времени, $W(t) = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R} = \frac{ B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi (t)}{R}$. Потенциальная энергия трубы $\Pi = mgh$ переходит в кинетическую энергию трубы $K = mV^{2}$, а также в тепло, $\frac{d \Pi}{dt} + \frac{dK}{dt} + W = 0$. С учетом $\frac{d \Pi }{dt} = - mgV \sin \alpha$ и $\frac{dK}{dt} = 2mV \frac{dV}{dt}$ получим уравнение $ - mgV \sin \alpha + 2mV \frac{dV}{dt} + \frac{ B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi}{R} = 0$, которое легко переписать, выразив $V$ через $\omega$ (с учетом $D \omega /2$), и разделив на $\omega D$, в виде
$\frac{mg \sin \alpha}{2} + \frac{mD}{2} \frac{d \omega}{dt} + \frac{B^{2}L^{2}D^{2} \omega^{2} \sin^{2} \phi}{R} = 0$.
Проинтегрируем это уравнение на временном интервале $[0, n \Delta t]$ (за время, когда труба, двигаясь в стационарном режиме, совершила большое число $n$ оборотов). При этом в установившемся режиме второе слагаемое можно отбросить (так как оно пропорционально $\int_{0}^{ n \Delta t} \frac{d \omega}{dt} dt = \omega (n \Delta t) - \omega (0)$, и при большом $n$ становится мало по сравнению с остальными вкладами, пропорциональными, как мы увидим, числу оборотов $n$). Это приводит к уравнению
$\frac{mg \sin \alpha n \Delta t}{2} = \frac{B^{2}L^{2}D}{R} \int_{0}^{n \Delta t} \frac{d \phi}{dt} \sin^{2} \phi dt = \frac{B^{2}L^{2}D}{R} \int_{0}^{2 \pi n} \sin^{2} \phi d \phi = \frac{B^{2} L^{2} D \pi n}{R}$,
в котором мы для правой части выполнили уже рассмотренное усреднение по углу $\phi$ величины $\sin^{2} \phi$. Отсюда период оборота колеса $\Delta t = \frac{2B^{2}L^{2}D \pi}{mgR \sin \alpha}$, что после использования очевидной формулы $V_{ср} = \frac{ \pi D}{ \Delta t}$, даёт приведённый в предыдущем пункте ответ.
Ответ. Установившаяся скорость трубы равна $V = \frac{Rmg \sin \alpha}{2B^{2}L^{2}}$.
