Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5433
2017-11-26 
Теплоизолированный сосуд длиной $L$ разделён пополам тонким теплопроводящим поршнем массой $M$. При движении поршня на него действует со стороны сосуда (см. рис.) постоянная сила трения $F_{тр}$. Слева и справа от поршня находится по $\nu$ молей гелия при температуре $T_{0}$. Сосуд повернули на $90^{ \circ}$, дождались установления в системе равновесия, а затем повернули обратно. Через некоторое время в системе установилась температура $T$. Найдите равновесное положение поршня в сосуде после того, как сосуд повернули в первый раз. Считать, что во время поворота поршень практически не сдвигается. Ускорение свободного падения $g$. Теплоёмкостью поршня, а так же массой газа по сравнению с массой поршня пренебречь.
Решение:
После того, как сосуд повернули в первый раз, поршень начал совершать затухающие колебания и в конце концов остановился на расстоянии $\Delta x$ от своего первоначального положения. При этом потенциальная энергия поршня перешла во внутреннюю энергию газа: $Mg \Delta x = 3 \nu R \Delta T/2$, где $R$ — универсальная газовая постоянная; $\Delta T$ — изменение температуры после первого поворота сосуда. Нетрудно понять, что в результате второго поворота сосуда температура газа не изменится: работа, совершённая газом над поршнем против силы трения перейдёт за счёт трения обратно во внутреннюю энергию газа. Таким образом, $\Delta T$ из предыдущей формулы совпадает с $T - T_{0}$. Несложно выразить интересующее нас $X$. Наличие в системе силы трения затрудняет решение задачи непосредственно с помощью уравнения состояния идеального газа. Для поршня в системе существует целая «зона застоя», и определить, где конкретно остановится в этой зоне поршень, когда его колебания затухнут, сложно. Но это уравнение существенно для проверки согласованности заданных в задаче условий. Можно проверить, что полученное $X$ соответствует равновесному положению поршня в сосуде. Действительно, положение равновесия поршня (после первого переворачивания сосуда) определяется условием $(p_{1} - p_{2}) S = Mg \pm f_{ТР}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ — равновесные давления под поршнем и над поршнем соответственно, $S$ — площадь сечения сосуда, $f_{ТР} < F_{TP}$ — сила трения, действующая на поршень в равновесии (очевидно, она может быть направлена в любую сторону и не превышает по модулю силу трения скольжения $F_{ТР}$). Для газа под поршнем в равновесии справедливо уравнение состояния $p_{1} (L - X) S = \nu RT$, откуда получаем $p_{1}$. Аналогично для газа над поршнем $p_{2}XS = \nu RT$, откуда выражаем $p_{2}$. Подставляя $p_{1}$ и $p_{2}$ в уравнение, выражающее равновесие поршня, с учётом вычисленного значения $X$, выражаем $f_{ТР}$. Тогда условие $f_{ТР} < F_{TP}$, когда задача имеет решение есть:
$\left | \frac{12v^{2}R^{2}(T - T_{0})T}{L^{2}M^{2}g^{2} - 9v^{2} R^{2} (T - t_{0})^{2}} - 1 \right | \leq \frac{F_{ТР}}{Mg}$.
Ответ. Равновесное положение поршня есть $X = \frac{L}{2} + \Delta x = \frac{L}{2} + \frac{3 \nu R(T - T_{0})}{2Mg}$.
Теплоизолированный сосуд длиной $L$ разделён пополам тонким теплопроводящим поршнем массой $M$. При движении поршня на него действует со стороны сосуда (см. рис.) постоянная сила трения $F_{тр}$. Слева и справа от поршня находится по $\nu$ молей гелия при температуре $T_{0}$. Сосуд повернули на $90^{ \circ}$, дождались установления в системе равновесия, а затем повернули обратно. Через некоторое время в системе установилась температура $T$. Найдите равновесное положение поршня в сосуде после того, как сосуд повернули в первый раз. Считать, что во время поворота поршень практически не сдвигается. Ускорение свободного падения $g$. Теплоёмкостью поршня, а так же массой газа по сравнению с массой поршня пренебречь.
Решение:
После того, как сосуд повернули в первый раз, поршень начал совершать затухающие колебания и в конце концов остановился на расстоянии $\Delta x$ от своего первоначального положения. При этом потенциальная энергия поршня перешла во внутреннюю энергию газа: $Mg \Delta x = 3 \nu R \Delta T/2$, где $R$ — универсальная газовая постоянная; $\Delta T$ — изменение температуры после первого поворота сосуда. Нетрудно понять, что в результате второго поворота сосуда температура газа не изменится: работа, совершённая газом над поршнем против силы трения перейдёт за счёт трения обратно во внутреннюю энергию газа. Таким образом, $\Delta T$ из предыдущей формулы совпадает с $T - T_{0}$. Несложно выразить интересующее нас $X$. Наличие в системе силы трения затрудняет решение задачи непосредственно с помощью уравнения состояния идеального газа. Для поршня в системе существует целая «зона застоя», и определить, где конкретно остановится в этой зоне поршень, когда его колебания затухнут, сложно. Но это уравнение существенно для проверки согласованности заданных в задаче условий. Можно проверить, что полученное $X$ соответствует равновесному положению поршня в сосуде. Действительно, положение равновесия поршня (после первого переворачивания сосуда) определяется условием $(p_{1} - p_{2}) S = Mg \pm f_{ТР}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ — равновесные давления под поршнем и над поршнем соответственно, $S$ — площадь сечения сосуда, $f_{ТР} < F_{TP}$ — сила трения, действующая на поршень в равновесии (очевидно, она может быть направлена в любую сторону и не превышает по модулю силу трения скольжения $F_{ТР}$). Для газа под поршнем в равновесии справедливо уравнение состояния $p_{1} (L - X) S = \nu RT$, откуда получаем $p_{1}$. Аналогично для газа над поршнем $p_{2}XS = \nu RT$, откуда выражаем $p_{2}$. Подставляя $p_{1}$ и $p_{2}$ в уравнение, выражающее равновесие поршня, с учётом вычисленного значения $X$, выражаем $f_{ТР}$. Тогда условие $f_{ТР} < F_{TP}$, когда задача имеет решение есть:
$\left | \frac{12v^{2}R^{2}(T - T_{0})T}{L^{2}M^{2}g^{2} - 9v^{2} R^{2} (T - t_{0})^{2}} - 1 \right | \leq \frac{F_{ТР}}{Mg}$.
Ответ. Равновесное положение поршня есть $X = \frac{L}{2} + \Delta x = \frac{L}{2} + \frac{3 \nu R(T - T_{0})}{2Mg}$.
