Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5432
2017-11-26 
Баллон со сжатым воздухом плотно накрыли тяжёлым колоколом массы $M$, объёма $V$ так, что края колокола плотно прилегают к полу. Из баллона начинают медленно выпускать воздух, и давление в нём падает в два раза. При этом в некоторый момент колокол отрывается от поверхности пола и опускается обратно. К моменту, когда все процессы завершились, под колоколом установилось давление в $n = 1,01$ раз большее, чем атмосферное. При этом масса вещества, находящегося под колоколом, уменьшилась на $m$ по сравнению с первоначальным значением. Каким было давление в баллоне в начальный момент? Диаметр основания колокола равен $D$. Температура воздуха — $T$, молярная масса — $\mu$, атмосферное давление — $P_{0}$.
Решение:
В условии задачи требуется проанализировать термодинамический процесс происходящий при разгерметизации баллона со сжатым воздухом, накрытым тяжёлым колоколом. Основная техническая сложность состоит в вычислении количества газа, покинувшее колокол. Помочь в решении может условие на предельно допустимое давление газа, который может находиться под колоколом. В остальном, решение задачи сводиться к записи уравнения состояния для идеального газа. Исходное число молей воздуха под колоколом равно $\nu_{0} = P_{0}(V - V^{ \prime})/RT$, здесь $V^{ \prime}$ — объём баллона, а количество молей газа в баллоне равно $\nu^{ \prime} = P^{ \prime}V^{ \prime}/RT$. Число молей воздуха вне баллона под колоколом в момент, когда из-под него начал выходить воздух (по условию в этот момент давление в баллоне упало в 2 раза) очевидно равно $v^{ \prime \prime } = v_{0} + v^{ \prime}/2$. Давление под колоколом в момент начала выхода воздуха таково, что сжатый воздух приподнимает поршень $P^{ \prime \prime} = 4Mg/ \pi D^{2} + P_{0}$. Анализируя последнее равенство, приходим к выводу, что все параметры, необходимые для записи уравнений состояния известны. Уравнение состояния газа в момент начала его выхода из-под колокола есть $\nu^{ \prime \prime} = P^{ \prime \prime}(V - V^{ \prime})/RT$. Число молей газа, оставшихся под колоколом после окончания всех процессов, по условию задачи, есть $\nu^{ \prime \prime \prime } = 1,01 \cdot P_{0}V/RT$. Число молей газа, вышедших из-под колокола тогда даётся формулой $\nu_{0} + \nu^{ \prime} - \nu^{ \prime \prime \prime} = m / \mu$. Подстановка в последнее равенство уравнений состояния идеального газа и решение этой системы приводят к искомой величине давления. Дополнительно, следует учесть естественное ограничение на параметры колокола, допускающие нахождение под ним газа с заданным давлением.
Ответ. Начальное давление в баллоне было равно:
$P^{ \prime} = \frac{ \beta (V - V^{ \prime})}{V^{ \prime}} = \beta \left [ \frac{V ( \beta + P_{0})}{ \beta V} - \alpha - 1 \right ], \alpha = \frac{mRT}{ \mu} + 0,001 P_{0}V, \beta = \frac{8Mg}{pD^{2}}$,
Баллон со сжатым воздухом плотно накрыли тяжёлым колоколом массы $M$, объёма $V$ так, что края колокола плотно прилегают к полу. Из баллона начинают медленно выпускать воздух, и давление в нём падает в два раза. При этом в некоторый момент колокол отрывается от поверхности пола и опускается обратно. К моменту, когда все процессы завершились, под колоколом установилось давление в $n = 1,01$ раз большее, чем атмосферное. При этом масса вещества, находящегося под колоколом, уменьшилась на $m$ по сравнению с первоначальным значением. Каким было давление в баллоне в начальный момент? Диаметр основания колокола равен $D$. Температура воздуха — $T$, молярная масса — $\mu$, атмосферное давление — $P_{0}$.
Решение:
В условии задачи требуется проанализировать термодинамический процесс происходящий при разгерметизации баллона со сжатым воздухом, накрытым тяжёлым колоколом. Основная техническая сложность состоит в вычислении количества газа, покинувшее колокол. Помочь в решении может условие на предельно допустимое давление газа, который может находиться под колоколом. В остальном, решение задачи сводиться к записи уравнения состояния для идеального газа. Исходное число молей воздуха под колоколом равно $\nu_{0} = P_{0}(V - V^{ \prime})/RT$, здесь $V^{ \prime}$ — объём баллона, а количество молей газа в баллоне равно $\nu^{ \prime} = P^{ \prime}V^{ \prime}/RT$. Число молей воздуха вне баллона под колоколом в момент, когда из-под него начал выходить воздух (по условию в этот момент давление в баллоне упало в 2 раза) очевидно равно $v^{ \prime \prime } = v_{0} + v^{ \prime}/2$. Давление под колоколом в момент начала выхода воздуха таково, что сжатый воздух приподнимает поршень $P^{ \prime \prime} = 4Mg/ \pi D^{2} + P_{0}$. Анализируя последнее равенство, приходим к выводу, что все параметры, необходимые для записи уравнений состояния известны. Уравнение состояния газа в момент начала его выхода из-под колокола есть $\nu^{ \prime \prime} = P^{ \prime \prime}(V - V^{ \prime})/RT$. Число молей газа, оставшихся под колоколом после окончания всех процессов, по условию задачи, есть $\nu^{ \prime \prime \prime } = 1,01 \cdot P_{0}V/RT$. Число молей газа, вышедших из-под колокола тогда даётся формулой $\nu_{0} + \nu^{ \prime} - \nu^{ \prime \prime \prime} = m / \mu$. Подстановка в последнее равенство уравнений состояния идеального газа и решение этой системы приводят к искомой величине давления. Дополнительно, следует учесть естественное ограничение на параметры колокола, допускающие нахождение под ним газа с заданным давлением.
Ответ. Начальное давление в баллоне было равно:
$P^{ \prime} = \frac{ \beta (V - V^{ \prime})}{V^{ \prime}} = \beta \left [ \frac{V ( \beta + P_{0})}{ \beta V} - \alpha - 1 \right ], \alpha = \frac{mRT}{ \mu} + 0,001 P_{0}V, \beta = \frac{8Mg}{pD^{2}}$,
