Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5430
2017-11-26 
Воздушный шарик представляет собой тонкую резиновую оболочку, имеющую в нерастянутом состоянии радиус $r_{0}$ и толщину $d_{0}$. Материал шарика характеризуется модулем Юнга $E$ и при растяжении подчиняется следующему закону: произведение относительного удлинения на модуль Юнга равно механическому напряжению. Кроме того, при растяжении объём материала не изменяется. Шарик помещают в вакуум и начинают надувать идеальным газом с молярной массой $\mu$ и температурой $T$. Определите зависимость радиуса шарика и давления в нём от массы $m$ закачанного газа. Постройте графики этих зависимостей.
Примечание. Механическое напряжение $\sigma$ равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения образца.
Решение:
Возникающая в материале шарика сила упругости $F$ задаётся соотношением $s = F/S = E \Delta l/l_{0}$, где $\sigma$ — напряжение материала, $S$ — площадь поперечного сечения образца, $E$ — модуль Юнга, $\Delta l/l_{0}$ — относительное удлинение образца. Обозначим через $p$ давление газа, которое установится в шарике радиуса $r$. Давление будет растягивать шарик до тех пор, пока упругая сила резиновой оболочки $2 \pi rds$ ($d$ — толщина растянутой оболочки) не скомпенсирует давление газа $p \pi r^{2}$. Из равенства сил следует, что $\sigma = pr/2d$. Относительное удлинение любого участка шарика составляет $(r - r_{0})/r_{0}$, поэтому $\sigma = E (r - r_{0})/r_{0} = rp/2d$. Объём резины сохраняется, поэтому $d_{0}r_{0}^{2} = dr^{2}$. Выражая отсюда толщину оболочки растянутого шарика $d$, получим $E(r - r_{0})/r_{0} = pr^{3}/2d_{0}r_{0}^{2}$. Состояние идеального газа в шарике описывается уравнением $4p \pi r^{3}/3 = mRT/ \mu$. Найдём из него давление и подставим в написанное раньше равенство сил, $E(r - r_{0})/r_{0} = 3md_{0}r_{0}^{2} RT/8 \pi \mu$. Последнее равенство выражает искомые зависимости радиуса шарика $r$ от количества закачанного внутрь газа и зависимость давления газа от его массы.
Ответ. Радиус шара линейно зависит от массы закаченного внутрь газа,
$r(m) = r_{0} + \frac{3mRT}{8 E \pi \mu d_{0} r_{0}^{2}}$.
Давление внутри шара зависит от массы закаченного газа как
$p(m) = \frac{3mRT}{4 \pi \mu} \left ( r_{0} + \frac{3mRT}{8E \pi \mu d_{0} r_{0}^{2}} \right )^{-3}$.
Ниже, на графиках показан качественный вид обеих зависимостей.
Воздушный шарик представляет собой тонкую резиновую оболочку, имеющую в нерастянутом состоянии радиус $r_{0}$ и толщину $d_{0}$. Материал шарика характеризуется модулем Юнга $E$ и при растяжении подчиняется следующему закону: произведение относительного удлинения на модуль Юнга равно механическому напряжению. Кроме того, при растяжении объём материала не изменяется. Шарик помещают в вакуум и начинают надувать идеальным газом с молярной массой $\mu$ и температурой $T$. Определите зависимость радиуса шарика и давления в нём от массы $m$ закачанного газа. Постройте графики этих зависимостей.
Примечание. Механическое напряжение $\sigma$ равно отношению растягивающей силы к площади поперечного сечения образца.
Решение:
Возникающая в материале шарика сила упругости $F$ задаётся соотношением $s = F/S = E \Delta l/l_{0}$, где $\sigma$ — напряжение материала, $S$ — площадь поперечного сечения образца, $E$ — модуль Юнга, $\Delta l/l_{0}$ — относительное удлинение образца. Обозначим через $p$ давление газа, которое установится в шарике радиуса $r$. Давление будет растягивать шарик до тех пор, пока упругая сила резиновой оболочки $2 \pi rds$ ($d$ — толщина растянутой оболочки) не скомпенсирует давление газа $p \pi r^{2}$. Из равенства сил следует, что $\sigma = pr/2d$. Относительное удлинение любого участка шарика составляет $(r - r_{0})/r_{0}$, поэтому $\sigma = E (r - r_{0})/r_{0} = rp/2d$. Объём резины сохраняется, поэтому $d_{0}r_{0}^{2} = dr^{2}$. Выражая отсюда толщину оболочки растянутого шарика $d$, получим $E(r - r_{0})/r_{0} = pr^{3}/2d_{0}r_{0}^{2}$. Состояние идеального газа в шарике описывается уравнением $4p \pi r^{3}/3 = mRT/ \mu$. Найдём из него давление и подставим в написанное раньше равенство сил, $E(r - r_{0})/r_{0} = 3md_{0}r_{0}^{2} RT/8 \pi \mu$. Последнее равенство выражает искомые зависимости радиуса шарика $r$ от количества закачанного внутрь газа и зависимость давления газа от его массы.
Ответ. Радиус шара линейно зависит от массы закаченного внутрь газа,
$r(m) = r_{0} + \frac{3mRT}{8 E \pi \mu d_{0} r_{0}^{2}}$.
Давление внутри шара зависит от массы закаченного газа как
$p(m) = \frac{3mRT}{4 \pi \mu} \left ( r_{0} + \frac{3mRT}{8E \pi \mu d_{0} r_{0}^{2}} \right )^{-3}$.
Ниже, на графиках показан качественный вид обеих зависимостей.
