Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5429
2017-11-26 
В длинной открытой трубе (см. рис.) между двух поршней находятся $\nu$ молей идеального одноатомного газа при температуре $T$. Поршни могут двигаться без трения только вверх (при попытке движения вниз их заклинивает); масса верхнего поршня $M$, масса нижнего пренебрежимо мала. К газу подвели некоторую теплоту, так что он нагрелся до температуры $T^{ \prime}$. При этом верхний поршень поднялся вверх. Затем газу позволяют остыть до исходной температуры. Процесс повторяют многократно. Определите КПД такого подъёмника. Газ считайте лёгким, атмосферное давление $p_{0}$, ускорение свободного падения $g$, тепловые потери при нагревании газа составляют $\lambda$ %. Площадь каждого из поршней равна $S$.
Решение:
В начальный момент (см. точку 0 на графике зависимости давления газа от объёма) температура газа равна $T$, а давление газа лежит в промежутке от $p_{0}$ до $p_{0} + Mg/S$ (если бы давление было меньше, чем $p_{0}$ нижний поршень ехал бы вверх, если бы давление было больше, чем $p_{0} + Mg/S$ вверх ехал бы верхний поршень). На начальном этапе, до тех пор, пока давление газа между поршнями не сравнялось с $p_{0} + Mg/S$, увеличение температуры происходит изохорически — нижний поршень не может двигаться вниз по условию, а давления газа ещё не хватает для того, чтобы поднять верхний поршень (см. рис.). На графике этому этапу соответствует участок — 2. Затем процесс становится изобарическим — верхний поршень поднимается (см. участок 2— 2). В точке 2 температура газа по условию равна $T^{ \prime}$. После газ начинает изохорически остывать — верхний поршень опуститься вниз не может, а нижний ещё не поднимется, так как давление газа между поршнями остаётся больше чем $p_{0}$ (см. участок 2 — 3). Далее газ охлаждается до исходной температуры изобарически (см. участок 3 — 4, температура в точке 4 равна температуре в точке 0: $T_{4} = T$), при этом нижний поршень поднимается. Затем газ начинают снова нагревать, чему соответствует участок 4 — 5. Наконец, процесс развивается по циклу 5 — 2 — 3 — 4 — 5. Таким образом, мы видим, что при любом начальном давлении газа $p_{0} \leq p \leq p_{0} + Mg/S$ в системе установится газовый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор 4 — 5 — 2 — 3 — 4. Газу сообщается теплота в процессах 4 — 5 — 2. Эта теплота идёт на совершение газом работы $(p_{0} + Mg/S)(V_{2} - V_{1})$ и на увеличение внутренней энергии одноатомного газа $3 \nu R(T^{ \prime} - T)/2$. Объёмы $V_{1}$ и $V_{2}$ находим из уравнения состояния $V_{1} = \nu RT/p_{0}$ и $V_{2} = \nu RT^{ \prime}/(p_{0} + Mg/S)$, а затем выражаем теплоту $Q$, сообщённую газу в процессах 4 — 5 — 2. Из-за тепловых потерь, затраченная в подъёмнике энергия $E = 100/(100 - \lambda ) Q$ оказывается в раз больше, чем $Q$. Работа, совершённая двигателем за один цикл, равна изменению потенциальной энергии массивного поршня: $A = Mg (V_{2} - V_{1})/S$, а КПД подъёмника равен $\eta = A/E$. Отметим, что КПД подъёмника не совпадает с КПД цикла 4 — 5 — 2 — 3 — 4, так как часть работы совершается «бесплатно» атмосферным давлением. Кроме того, если в начальный момент температура газа была больше, чем температура газа в точке 3, то изотерма, проведённая через точку 0 пересечёт отрезок 2 — 3, и в цикле пропадут изобарические участки. В этом случае подъёмник работать не будет (он поднимет груз только в первый раз), и его КПД равно нулю.
Ответ. КПД подъёмника равен
$\eta = \frac{100 - \lambda }{100} Mg \left ( \frac{T^{ \prime}}{Sp_{0} + Mg} - \frac{T}{Sp_{0}} \right ) \left ( \frac{5(T^{ \prime} - T)}{2} - T \frac{Mg}{Sp_{0}} \right )^{-1}$.
В длинной открытой трубе (см. рис.) между двух поршней находятся $\nu$ молей идеального одноатомного газа при температуре $T$. Поршни могут двигаться без трения только вверх (при попытке движения вниз их заклинивает); масса верхнего поршня $M$, масса нижнего пренебрежимо мала. К газу подвели некоторую теплоту, так что он нагрелся до температуры $T^{ \prime}$. При этом верхний поршень поднялся вверх. Затем газу позволяют остыть до исходной температуры. Процесс повторяют многократно. Определите КПД такого подъёмника. Газ считайте лёгким, атмосферное давление $p_{0}$, ускорение свободного падения $g$, тепловые потери при нагревании газа составляют $\lambda$ %. Площадь каждого из поршней равна $S$.
Решение:
В начальный момент (см. точку 0 на графике зависимости давления газа от объёма) температура газа равна $T$, а давление газа лежит в промежутке от $p_{0}$ до $p_{0} + Mg/S$ (если бы давление было меньше, чем $p_{0}$ нижний поршень ехал бы вверх, если бы давление было больше, чем $p_{0} + Mg/S$ вверх ехал бы верхний поршень). На начальном этапе, до тех пор, пока давление газа между поршнями не сравнялось с $p_{0} + Mg/S$, увеличение температуры происходит изохорически — нижний поршень не может двигаться вниз по условию, а давления газа ещё не хватает для того, чтобы поднять верхний поршень (см. рис.). На графике этому этапу соответствует участок — 2. Затем процесс становится изобарическим — верхний поршень поднимается (см. участок 2— 2). В точке 2 температура газа по условию равна $T^{ \prime}$. После газ начинает изохорически остывать — верхний поршень опуститься вниз не может, а нижний ещё не поднимется, так как давление газа между поршнями остаётся больше чем $p_{0}$ (см. участок 2 — 3). Далее газ охлаждается до исходной температуры изобарически (см. участок 3 — 4, температура в точке 4 равна температуре в точке 0: $T_{4} = T$), при этом нижний поршень поднимается. Затем газ начинают снова нагревать, чему соответствует участок 4 — 5. Наконец, процесс развивается по циклу 5 — 2 — 3 — 4 — 5. Таким образом, мы видим, что при любом начальном давлении газа $p_{0} \leq p \leq p_{0} + Mg/S$ в системе установится газовый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор 4 — 5 — 2 — 3 — 4. Газу сообщается теплота в процессах 4 — 5 — 2. Эта теплота идёт на совершение газом работы $(p_{0} + Mg/S)(V_{2} - V_{1})$ и на увеличение внутренней энергии одноатомного газа $3 \nu R(T^{ \prime} - T)/2$. Объёмы $V_{1}$ и $V_{2}$ находим из уравнения состояния $V_{1} = \nu RT/p_{0}$ и $V_{2} = \nu RT^{ \prime}/(p_{0} + Mg/S)$, а затем выражаем теплоту $Q$, сообщённую газу в процессах 4 — 5 — 2. Из-за тепловых потерь, затраченная в подъёмнике энергия $E = 100/(100 - \lambda ) Q$ оказывается в раз больше, чем $Q$. Работа, совершённая двигателем за один цикл, равна изменению потенциальной энергии массивного поршня: $A = Mg (V_{2} - V_{1})/S$, а КПД подъёмника равен $\eta = A/E$. Отметим, что КПД подъёмника не совпадает с КПД цикла 4 — 5 — 2 — 3 — 4, так как часть работы совершается «бесплатно» атмосферным давлением. Кроме того, если в начальный момент температура газа была больше, чем температура газа в точке 3, то изотерма, проведённая через точку 0 пересечёт отрезок 2 — 3, и в цикле пропадут изобарические участки. В этом случае подъёмник работать не будет (он поднимет груз только в первый раз), и его КПД равно нулю.
Ответ. КПД подъёмника равен
$\eta = \frac{100 - \lambda }{100} Mg \left ( \frac{T^{ \prime}}{Sp_{0} + Mg} - \frac{T}{Sp_{0}} \right ) \left ( \frac{5(T^{ \prime} - T)}{2} - T \frac{Mg}{Sp_{0}} \right )^{-1}$.
