Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5428
2017-11-26 
На горе над выездом из тоннеля стоит пушка, которая может стрелять под любым углом к горизонту. Скорость вылета снаряда может меняться. Из тоннеля выезжают машины, двигаясь со скоростью $V_{0}$. Пушка стреляет по машине в тот момент, когда она появляется из тоннеля. Подбитые машины находятся на промежутке от x до у, считая от тоннеля (см. рис.). Определите, на какой высоте расположена пушка над дорогой, и с какой максимальной скоростью могут вылетать снаряды. Считайте, что подбитые машины мгновенно останавливаются, и что снаряды попадают именно в те машины, в которые целилась пушка.
Решение:
Введём оси координат OX, OY и спроектируем начальную скорость снаряда $u$ на эти оси. В проекции на горизонтальную ось и снаряд машина двигаются равномерно, поэтому, чтобы снаряд попал в машину, их горизонтальные скорости должны быть равны, т.е. $u_{x} = V_{0}$. В проекции на ось OY зависимость координаты снаряда от времени имеет вид $Y(t) = H + u_{y}t - gt^{2}/2$ (здесь $H$ — высота обрыва). В момент попадания снаряда в машину координата $Y(t_{1}) = 0$. Отсюда, решая квадратное уравнение $H + u_{y}t_{1} - gt^{2}_{1}/2 = 0$ и, отбрасывая отрицательный корень, получаем время полёта снаряда $t_{1} =\frac{u_{y} + \sqrt{u_{y}^{2} + 2gH}}{g}$. Так как существует некоторая максимальная скорость вылета снаряда $u_{max}$, ей соответствует максимальная возможная вертикальная проекция начальной скорости снаряда $u_{max} = \sqrt{ u_{max}^{2} - V_{0}^{2}}$. Дуло пушки может быть наклонено и выше и ниже по отношению к горизонту, так что вертикальная проекция начальной скорости снаряда может меняться от $- u_{max y}$ до $u_{max y}$. Время полёта снаряда при этом меняется от минимального значения $\tau = \frac{ - u_{max y} + \sqrt{u_{max y}^{2} + 2gH}}{g}$ (когда дуло направлено ниже горизонта) до максимального значения $T = \frac{ u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g}$. С другой стороны, по условию, за это время машины проходят расстояние от минимального $x = tV_{0}$ до максимального $y = TV_{0}$. Выражая отсюда $t$ и $T$ и подставляя в предшествующие равенства, получаем систему уравнений:
$\frac{- u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g} = \frac{x}{V_{0}} \frac{u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g} = \frac{y}{V_{0}}$,
решая которую относительно $u_{max y}$ и $H$, получаем $u_{max y} = \frac{(y - x)g}{2V_{0}}, H = \frac{xyg}{2V_{0}^{2}}$. Зная $u_{max y}$, нетрудно восстановить и максимальную скорость вылета снарядов:
$u_{max} = \sqrt{ u_{max y}^{2} + u_{max x}^{2}} = \sqrt{ \frac{(y - x)^{2} g^{2}}{4V_{0}^{2}} + V_{0}^{2}}$.
Ответ. Пушка расположена на высоте $H = \frac{xyg}{2V_{0}^{2}}$ над выездом из туннеля. Максимальная скорость, с которой могут вылетать снаряды равна
$u_{max} = \sqrt{ \frac{(y - x)^{2} g^{2}}{4V_{0}^{2}} + V_{0}^{2}}$.
На горе над выездом из тоннеля стоит пушка, которая может стрелять под любым углом к горизонту. Скорость вылета снаряда может меняться. Из тоннеля выезжают машины, двигаясь со скоростью $V_{0}$. Пушка стреляет по машине в тот момент, когда она появляется из тоннеля. Подбитые машины находятся на промежутке от x до у, считая от тоннеля (см. рис.). Определите, на какой высоте расположена пушка над дорогой, и с какой максимальной скоростью могут вылетать снаряды. Считайте, что подбитые машины мгновенно останавливаются, и что снаряды попадают именно в те машины, в которые целилась пушка.
Решение:
Введём оси координат OX, OY и спроектируем начальную скорость снаряда $u$ на эти оси. В проекции на горизонтальную ось и снаряд машина двигаются равномерно, поэтому, чтобы снаряд попал в машину, их горизонтальные скорости должны быть равны, т.е. $u_{x} = V_{0}$. В проекции на ось OY зависимость координаты снаряда от времени имеет вид $Y(t) = H + u_{y}t - gt^{2}/2$ (здесь $H$ — высота обрыва). В момент попадания снаряда в машину координата $Y(t_{1}) = 0$. Отсюда, решая квадратное уравнение $H + u_{y}t_{1} - gt^{2}_{1}/2 = 0$ и, отбрасывая отрицательный корень, получаем время полёта снаряда $t_{1} =\frac{u_{y} + \sqrt{u_{y}^{2} + 2gH}}{g}$. Так как существует некоторая максимальная скорость вылета снаряда $u_{max}$, ей соответствует максимальная возможная вертикальная проекция начальной скорости снаряда $u_{max} = \sqrt{ u_{max}^{2} - V_{0}^{2}}$. Дуло пушки может быть наклонено и выше и ниже по отношению к горизонту, так что вертикальная проекция начальной скорости снаряда может меняться от $- u_{max y}$ до $u_{max y}$. Время полёта снаряда при этом меняется от минимального значения $\tau = \frac{ - u_{max y} + \sqrt{u_{max y}^{2} + 2gH}}{g}$ (когда дуло направлено ниже горизонта) до максимального значения $T = \frac{ u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g}$. С другой стороны, по условию, за это время машины проходят расстояние от минимального $x = tV_{0}$ до максимального $y = TV_{0}$. Выражая отсюда $t$ и $T$ и подставляя в предшествующие равенства, получаем систему уравнений:
$\frac{- u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g} = \frac{x}{V_{0}} \frac{u_{max y} + \sqrt{ u_{max y}^{2} + 2gH}}{g} = \frac{y}{V_{0}}$,
решая которую относительно $u_{max y}$ и $H$, получаем $u_{max y} = \frac{(y - x)g}{2V_{0}}, H = \frac{xyg}{2V_{0}^{2}}$. Зная $u_{max y}$, нетрудно восстановить и максимальную скорость вылета снарядов:
$u_{max} = \sqrt{ u_{max y}^{2} + u_{max x}^{2}} = \sqrt{ \frac{(y - x)^{2} g^{2}}{4V_{0}^{2}} + V_{0}^{2}}$.
Ответ. Пушка расположена на высоте $H = \frac{xyg}{2V_{0}^{2}}$ над выездом из туннеля. Максимальная скорость, с которой могут вылетать снаряды равна
$u_{max} = \sqrt{ \frac{(y - x)^{2} g^{2}}{4V_{0}^{2}} + V_{0}^{2}}$.
