Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5427
2017-11-26 
На стержень длиной $L = 1,5 м$, закреплённый по диаметру колеса, нанизана маленькая бусинка массой $m = 10 г$. Бусинка прикреплена к ободу колеса (см. рис.) идеальной пружиной жёсткости $k = 1 Н/м$, длина недеформированной пружины 75 см. Первоначально колесо вращается вокруг своей оси с очень большой частотой. В момент, когда стержень был горизонтален, колесо быстро затормозили до угловой скорости $\omega = 10 рад/с$. Через какое минимальное количество оборотов колеса система снова вернётся в положение изображённое на рисунке? Трением между стержнем и бусинкой пренебречь. Соударения между бусинкой и ободом колеса абсолютно неупругие.
Решение:
По условию задачи колесо вначале вращалось быстро, и бусинка была прижата к ободу колеса. После того, как колесо затормозили до угловой скорости $\omega$, при некотором угле наклона стержня, бусинка уже сможет оторваться от обода. Найдём, при каком угле $\alpha_{0}$ это произойдёт. В момент отрыва от обода на бусинку действуют силы тяжести, упругости и реакции стержня, направленная перпендикулярно стержню. Сила реакции обода в этот момент равна, очевидно, нулю. В проекции на стержень уравнение движения бусины имеет вид $mg \cos \alpha_{0} + kR = m \omega^{2} R$. Выразим из него $\cos \alpha_{0} = (m \omega^{2} - k)R/mg$. Числовые данные в условии подобраны так, что $m \omega^{2} = k$, т. е. $\alpha_{0} = \pi /2$. Угловая частота вращения колеса при этом совпадает с собственной частотой колебаний бусинки на пружинке. Итак, после торможения колеса до угловой скорости $\omega$, бусинка сразу же отрывается от обода. Пусть в момент $t$, когда стержень образует угол $\alpha = - \pi /2 + \omega t$ с вертикалью, бусинка находится на расстоянии $r$ от центра колеса. Уравнение движения бусинки в проекции на направление стержня выглядит особенно просто (поскольку центробежная и упругая силы компенсируются): $g \cos \alpha = a = g \sin ( \omega t)$. Под действием переменной силы бусинка совершает гармонические колебания с частотой $\omega$. Скорость меняется со временем также по гармоническому закону, с частотой $\omega$ и амплитудой $g/ \omega$, оставаясь положительной (бусина не меняет направления движения). До момента времени $t = \pi / \omega$ бусинка разгоняется, затем столько же времени замедляется и к моменту $t_{1} = \pi / \omega$ проходит вдоль стержня путь $S = 2 \pi g/ \omega^{2} = 0,615 м$, и именно на такое расстояние сдвинется по стержню бусинка за один оборот колеса. Длина стержня по условию равна 1,5 м. За первые два оборота колеса бусинка сдвинется на $x = 1,23 м$. На третьем обороте колеса бусинка столкнётся с ободом. За третий оборот колеса бусинка сдвинулась бы на $L - x = 0,27 м$. Эта величина меньше $S/2$, значит бусинка столкнётся с ободом на первой половине третьего оборота. Точка закрепления пружины B первую половину оборота находится ниже центра колеса, поэтому после столкновения бусинка будет просто лежать на ободе до тех пор, пока стержень снова не окажется горизонтальным (это произойдёт через два с половиной оборота после начала движения бусинки). Затем бусинка начнёт двигаться вдоль стержня в другую сторону, так же — «шагами» по 0,615 м. Ещё через два с половиной оборота бусинка окажется в исходном положении.
Ответ. Через 5 оборотов колеса система вернётся в исходное положение.
На стержень длиной $L = 1,5 м$, закреплённый по диаметру колеса, нанизана маленькая бусинка массой $m = 10 г$. Бусинка прикреплена к ободу колеса (см. рис.) идеальной пружиной жёсткости $k = 1 Н/м$, длина недеформированной пружины 75 см. Первоначально колесо вращается вокруг своей оси с очень большой частотой. В момент, когда стержень был горизонтален, колесо быстро затормозили до угловой скорости $\omega = 10 рад/с$. Через какое минимальное количество оборотов колеса система снова вернётся в положение изображённое на рисунке? Трением между стержнем и бусинкой пренебречь. Соударения между бусинкой и ободом колеса абсолютно неупругие.
Решение:
По условию задачи колесо вначале вращалось быстро, и бусинка была прижата к ободу колеса. После того, как колесо затормозили до угловой скорости $\omega$, при некотором угле наклона стержня, бусинка уже сможет оторваться от обода. Найдём, при каком угле $\alpha_{0}$ это произойдёт. В момент отрыва от обода на бусинку действуют силы тяжести, упругости и реакции стержня, направленная перпендикулярно стержню. Сила реакции обода в этот момент равна, очевидно, нулю. В проекции на стержень уравнение движения бусины имеет вид $mg \cos \alpha_{0} + kR = m \omega^{2} R$. Выразим из него $\cos \alpha_{0} = (m \omega^{2} - k)R/mg$. Числовые данные в условии подобраны так, что $m \omega^{2} = k$, т. е. $\alpha_{0} = \pi /2$. Угловая частота вращения колеса при этом совпадает с собственной частотой колебаний бусинки на пружинке. Итак, после торможения колеса до угловой скорости $\omega$, бусинка сразу же отрывается от обода. Пусть в момент $t$, когда стержень образует угол $\alpha = - \pi /2 + \omega t$ с вертикалью, бусинка находится на расстоянии $r$ от центра колеса. Уравнение движения бусинки в проекции на направление стержня выглядит особенно просто (поскольку центробежная и упругая силы компенсируются): $g \cos \alpha = a = g \sin ( \omega t)$. Под действием переменной силы бусинка совершает гармонические колебания с частотой $\omega$. Скорость меняется со временем также по гармоническому закону, с частотой $\omega$ и амплитудой $g/ \omega$, оставаясь положительной (бусина не меняет направления движения). До момента времени $t = \pi / \omega$ бусинка разгоняется, затем столько же времени замедляется и к моменту $t_{1} = \pi / \omega$ проходит вдоль стержня путь $S = 2 \pi g/ \omega^{2} = 0,615 м$, и именно на такое расстояние сдвинется по стержню бусинка за один оборот колеса. Длина стержня по условию равна 1,5 м. За первые два оборота колеса бусинка сдвинется на $x = 1,23 м$. На третьем обороте колеса бусинка столкнётся с ободом. За третий оборот колеса бусинка сдвинулась бы на $L - x = 0,27 м$. Эта величина меньше $S/2$, значит бусинка столкнётся с ободом на первой половине третьего оборота. Точка закрепления пружины B первую половину оборота находится ниже центра колеса, поэтому после столкновения бусинка будет просто лежать на ободе до тех пор, пока стержень снова не окажется горизонтальным (это произойдёт через два с половиной оборота после начала движения бусинки). Затем бусинка начнёт двигаться вдоль стержня в другую сторону, так же — «шагами» по 0,615 м. Ещё через два с половиной оборота бусинка окажется в исходном положении.
Ответ. Через 5 оборотов колеса система вернётся в исходное положение.
