Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5424
2017-11-26 
$N$ одинаковых небольших шариков подвешены к одной точке на невесомых нерастяжимых нитях длиной $L$. В начальный момент все маятники находятся в одной плоскости, содержащей вертикаль, проходящую через точку подвеса (см. рис.), и отклонены на углы $0 < \phi_{1} < \phi_{2} < \cdots < \phi_{n} \ll \pi /2$. Начиная с первого, маятники последовательно отпускают без начальной скорости в моменты времени $\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n-1}$ соответственно. В какие моменты времени последний маятник будет находиться в точке своего начального положения? Все удары считать абсолютно упругими.
Решение:
Поскольку все соударения между шарами упругие, и шарики просто обмениваются скоростями, то если их не различать между собой, то картина колебаний останется такой же как и в отсутствие столкновений: максимальной амплитудой будет обладать последний шарик. Если бы между маятниками не происходили столкновения, амплитуды их колебаний удовлетворяли бы неравенствам $A_{1} < A_{2} < \cdots < A_{n}$. При упругом столкновении двух маятников одинаковой массы между ними происходит обмен скоростями, как это следует из закона сохранения энергии:
$\begin{cases} mv_{1} + mv_{2} = mu_{1} + mu_{2} \\ \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} = \frac{mu_{1}^{2}}{2} + \frac{mu_{2}^{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_{1} = v_{2} \\ u_{2} = v_{1} \end{cases}$
Поскольку амплитуда колебаний последнего маятника максимальна, он вернётся в точку старта лишь спустя промежуток времени, равный полному периоду колебаний системы.
Ответ. Последний маятник будет находится в точке своего начального положения в моменты $\tau_{1} + \tau_{2} + \cdots + \tau_{N-1} + 2 \pi k (L/g)^{1/2}$.
$N$ одинаковых небольших шариков подвешены к одной точке на невесомых нерастяжимых нитях длиной $L$. В начальный момент все маятники находятся в одной плоскости, содержащей вертикаль, проходящую через точку подвеса (см. рис.), и отклонены на углы $0 < \phi_{1} < \phi_{2} < \cdots < \phi_{n} \ll \pi /2$. Начиная с первого, маятники последовательно отпускают без начальной скорости в моменты времени $\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n-1}$ соответственно. В какие моменты времени последний маятник будет находиться в точке своего начального положения? Все удары считать абсолютно упругими.
Решение:
Поскольку все соударения между шарами упругие, и шарики просто обмениваются скоростями, то если их не различать между собой, то картина колебаний останется такой же как и в отсутствие столкновений: максимальной амплитудой будет обладать последний шарик. Если бы между маятниками не происходили столкновения, амплитуды их колебаний удовлетворяли бы неравенствам $A_{1} < A_{2} < \cdots < A_{n}$. При упругом столкновении двух маятников одинаковой массы между ними происходит обмен скоростями, как это следует из закона сохранения энергии:
$\begin{cases} mv_{1} + mv_{2} = mu_{1} + mu_{2} \\ \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2} = \frac{mu_{1}^{2}}{2} + \frac{mu_{2}^{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u_{1} = v_{2} \\ u_{2} = v_{1} \end{cases}$
Поскольку амплитуда колебаний последнего маятника максимальна, он вернётся в точку старта лишь спустя промежуток времени, равный полному периоду колебаний системы.
Ответ. Последний маятник будет находится в точке своего начального положения в моменты $\tau_{1} + \tau_{2} + \cdots + \tau_{N-1} + 2 \pi k (L/g)^{1/2}$.
