Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5423
2017-11-26 
После очередного прыжка через гиперпространство космический корабль оказался вблизи очень необычной планеты Кулогауссия, представляющей собой очень длинный однородный круговой цилиндр, вращающийся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Чему равна плотность вещества планеты, если высадившиеся на её боковую поверхность исследователи оказались в состоянии невесомости?
Решение:
Основные понятия классической теории поля и её теоремы с равным успехом применимы как для электростатики, так и для гравитации. Известная из курса электростатики теорема Гаусса позволяет обойтись без интегрирования при вычислении напряжённостей электростатических полей многих простых заряженных геометрических тел. Точно так же, теорема Гаусса позволяет легко, не прибегая к интегрированию, находить напряжённости гравитационных полей. Воспользуемся аналогией между законом всемирного тяготения и законом Кулона. Используя замену переменных, приведённую ниже, можно превращать соотношения для гравитационных сил в аналогичные соотношения электростатики и наоборот:
$\begin{cases} F = G \frac{Mm}{R^{2}}, \\ F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Qq}{R^{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} M \leftrightarrow Q, \\ G \leftrightarrow \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \end{cases}$
Теорема Гаусса для электростатического поля и её аналог для гравитационных сил даются формулами $N_{E} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}} \Rightarrow N_{g} = 4 \pi GM$. Развивая эту аналогию, перенесём хорошо известный в курсе школьной электростатики расчёт электростатического поля на поверхности бесконечного равномерно заряженного по объёму цилиндра ($2 \pi RHE = \rho_{Q} \pi R^{2} H/ \epsilon_{0}$, откуда $E = \rho_{Q} R/2 \epsilon_{0}$) на вычисление ускорения свободного падения (напряжённости гравитационного поля) на поверхности планеты: $g = 2 \pi G \rho R$. Невесомость на поверхности вращающегося цилиндра случается, когда гравитационная и центробежная силы уравновешиваются: $mg = m \omega^{2} R$. Отсюда легко находится искомая плотность вещества планеты.
Ответ. Плотность вещества планеты равна $\rho = \omega^{2}/2 \pi G$.
После очередного прыжка через гиперпространство космический корабль оказался вблизи очень необычной планеты Кулогауссия, представляющей собой очень длинный однородный круговой цилиндр, вращающийся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Чему равна плотность вещества планеты, если высадившиеся на её боковую поверхность исследователи оказались в состоянии невесомости?
Решение:
Основные понятия классической теории поля и её теоремы с равным успехом применимы как для электростатики, так и для гравитации. Известная из курса электростатики теорема Гаусса позволяет обойтись без интегрирования при вычислении напряжённостей электростатических полей многих простых заряженных геометрических тел. Точно так же, теорема Гаусса позволяет легко, не прибегая к интегрированию, находить напряжённости гравитационных полей. Воспользуемся аналогией между законом всемирного тяготения и законом Кулона. Используя замену переменных, приведённую ниже, можно превращать соотношения для гравитационных сил в аналогичные соотношения электростатики и наоборот:
$\begin{cases} F = G \frac{Mm}{R^{2}}, \\ F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{Qq}{R^{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} M \leftrightarrow Q, \\ G \leftrightarrow \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_{0}} \end{cases}$
Теорема Гаусса для электростатического поля и её аналог для гравитационных сил даются формулами $N_{E} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}} \Rightarrow N_{g} = 4 \pi GM$. Развивая эту аналогию, перенесём хорошо известный в курсе школьной электростатики расчёт электростатического поля на поверхности бесконечного равномерно заряженного по объёму цилиндра ($2 \pi RHE = \rho_{Q} \pi R^{2} H/ \epsilon_{0}$, откуда $E = \rho_{Q} R/2 \epsilon_{0}$) на вычисление ускорения свободного падения (напряжённости гравитационного поля) на поверхности планеты: $g = 2 \pi G \rho R$. Невесомость на поверхности вращающегося цилиндра случается, когда гравитационная и центробежная силы уравновешиваются: $mg = m \omega^{2} R$. Отсюда легко находится искомая плотность вещества планеты.
Ответ. Плотность вещества планеты равна $\rho = \omega^{2}/2 \pi G$.
