Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5422
2017-11-26 
На наклонной плоскости (см. рис.), составляющей угол $29^{ \circ}$ с горизонтом, неподвижно лежит стопка из 15 одинаковых по форме клиньев с углом при вершине в $1^{ \circ}$. По верхней поверхности верхнего клина без трения скользит шайба массой $m$. Найти силу, действующую на наклонную плоскость со стороны стопки клиньев, если известно, что все они покоятся, а трение между их поверхностями отсутствует.
Решение:
На рисунке изображены силы, действующие на клин с номером $k$. Здесь и далее $\alpha = 29^{ \circ} C + 15 \cdot 1^{ \circ} C = 44^{ \circ} C$ — угол между вертикалью и верхней плоскостью верхнего клина, $\beta$ — угол при вершине клина. Клинья будем нумеровать, начиная с верхнего — на наклонной плоскости лежит клин с номером $k = 15$. Начнём с записи условия равенства нулю суммы проекций сил на ось симметрии клина с номером $k$,
$N_{k} \sin ( \beta / 2) + N_{k-1} \sin ( \beta /2) = m_{k}g \cos [ \alpha + \beta (k - 1)/2]$.
Условие равенства нулю суммы проекций сил на перпендикулярную ось тогда запишется как
$N_{k} \cos ( \beta /2) + N_{k-1} \cos ( \beta /2) = m_{k}g \sin [ \alpha + \beta b(k - 1)/2]$.
Решение системы этих уравнений есть
$N_{k} = m_{k}g \cos ( \alpha + k \beta )/ \sin \beta, N_{k-1} = m_{k}g \cos ( \alpha + (k + 1) \beta ) / \sin \beta$,
оно позволяет выписать рекуррентные соотношения для сил реакции опоры:
$N_{k}/N_{k-1} = \cos ( \alpha + k \beta )/ \cos [ \alpha + (k + 1) \beta]$.
Сила реакции опоры, действующая со стороны шайбы на верхний клин, совпадает по модулю с проекцией силы тяжести $N_{0} = f = mg \sin \alpha$. Результат последовательного применения рекуррентного соотношения, после простых преобразований, приобретает вид:
$N_{k} = N_{k-1} \frac{ \cos ( \alpha + k \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-2} \frac{ \cos ( \alpha + (k -1 ) \beta)}{ \cos ( \alpha + kb \beta)} \frac{ \cos ( \alpha + k \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-2} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-3} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 2) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-3} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 2) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = \cdots = N_{0} \frac{ \cos ( \alpha + \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)}$.
Результат подстановки численных значений в последнюю формулу даёт ответ.
Ответ. Искомая результирующая сила равна $N_{1} = \sqrt{2}mg \cdot \sin 44^{ \circ} C$.
На наклонной плоскости (см. рис.), составляющей угол $29^{ \circ}$ с горизонтом, неподвижно лежит стопка из 15 одинаковых по форме клиньев с углом при вершине в $1^{ \circ}$. По верхней поверхности верхнего клина без трения скользит шайба массой $m$. Найти силу, действующую на наклонную плоскость со стороны стопки клиньев, если известно, что все они покоятся, а трение между их поверхностями отсутствует.
Решение:
На рисунке изображены силы, действующие на клин с номером $k$. Здесь и далее $\alpha = 29^{ \circ} C + 15 \cdot 1^{ \circ} C = 44^{ \circ} C$ — угол между вертикалью и верхней плоскостью верхнего клина, $\beta$ — угол при вершине клина. Клинья будем нумеровать, начиная с верхнего — на наклонной плоскости лежит клин с номером $k = 15$. Начнём с записи условия равенства нулю суммы проекций сил на ось симметрии клина с номером $k$,
$N_{k} \sin ( \beta / 2) + N_{k-1} \sin ( \beta /2) = m_{k}g \cos [ \alpha + \beta (k - 1)/2]$.
Условие равенства нулю суммы проекций сил на перпендикулярную ось тогда запишется как
$N_{k} \cos ( \beta /2) + N_{k-1} \cos ( \beta /2) = m_{k}g \sin [ \alpha + \beta b(k - 1)/2]$.
Решение системы этих уравнений есть
$N_{k} = m_{k}g \cos ( \alpha + k \beta )/ \sin \beta, N_{k-1} = m_{k}g \cos ( \alpha + (k + 1) \beta ) / \sin \beta$,
оно позволяет выписать рекуррентные соотношения для сил реакции опоры:
$N_{k}/N_{k-1} = \cos ( \alpha + k \beta )/ \cos [ \alpha + (k + 1) \beta]$.
Сила реакции опоры, действующая со стороны шайбы на верхний клин, совпадает по модулю с проекцией силы тяжести $N_{0} = f = mg \sin \alpha$. Результат последовательного применения рекуррентного соотношения, после простых преобразований, приобретает вид:
$N_{k} = N_{k-1} \frac{ \cos ( \alpha + k \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-2} \frac{ \cos ( \alpha + (k -1 ) \beta)}{ \cos ( \alpha + kb \beta)} \frac{ \cos ( \alpha + k \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-2} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-3} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 2) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 1) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = N_{k-3} \frac{ \cos ( \alpha + (k - 2) \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)} = \cdots = N_{0} \frac{ \cos ( \alpha + \beta)}{ \cos ( \alpha + (k + 1) \beta)}$.
Результат подстановки численных значений в последнюю формулу даёт ответ.
Ответ. Искомая результирующая сила равна $N_{1} = \sqrt{2}mg \cdot \sin 44^{ \circ} C$.
