Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5421
2017-11-26 
Конец однородного стержня длиной $L$ и массой $M$ закреплён на шарнире так, что стержень может вращаться в любом направлении без трения. На расстоянии $l < L$ от точки закрепления к стержню прикреплена пружина жёсткости $k$, длина которой в недеформированном состоянии пренебрежимо мала. В какой точке пространства следует закрепить другой конец пружины для того, чтобы стержень находился в положении безразличного равновесия?
Решение:
Безразличный характер равновесия означает, что стержень может оставаться в состоянии покоя при любом его положении относительно шарнира. Задача может быть решена двумя способами. Можно использовать условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения: сумма вращающих моментов относительно точки закрепления должна равняться нулю (независимо от ориентации стержня в пространстве). Другой способ состоит в расчёте потенциальной энергии стержня при требовании независимости этой энергии от его ориентации в пространстве (условия безразличного равновесия). Поскольку поворот стержня вокруг горизонтальной оси не должен выводить его из состояния равновесия, точка закрепления пружины должна находиться на вертикали, проходящей через шарнир $X = 0, Y = h$. Для любого угла наклона стержня относительно вертикали момент силы тяжести должен быть скомпенсирован моментом силы, действующей на стержень со стороны пружины,
$Mg L/2 \in \alpha = F_{x} l \cos \alpha + F_{y} l \sin \alpha$.
Подстановка сюда явного выражения для силы упругости, создаваемой линейной пружиной с малой длиной в недеформированном состоянии, приводит к равенству $F_{x} = k(l - l_{0}) \sin \alpha \sim kl \sin \alpha, F_{y} = k(l - l_{0}) \cos \alpha \sim kl \cos \alpha, Mg L/2 \sin \alpha = k lh \sin \alpha$. При таком условии равновесие будет безразличным (равенство моментов выполняется при любых углах наклона стержня).
Ответ. Пружина должна быть закреплена на перпендикуляре, проходящей через точку подвеса, на высоте $Mg L/2kl$ над ним.
Конец однородного стержня длиной $L$ и массой $M$ закреплён на шарнире так, что стержень может вращаться в любом направлении без трения. На расстоянии $l < L$ от точки закрепления к стержню прикреплена пружина жёсткости $k$, длина которой в недеформированном состоянии пренебрежимо мала. В какой точке пространства следует закрепить другой конец пружины для того, чтобы стержень находился в положении безразличного равновесия?
Решение:
Безразличный характер равновесия означает, что стержень может оставаться в состоянии покоя при любом его положении относительно шарнира. Задача может быть решена двумя способами. Можно использовать условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения: сумма вращающих моментов относительно точки закрепления должна равняться нулю (независимо от ориентации стержня в пространстве). Другой способ состоит в расчёте потенциальной энергии стержня при требовании независимости этой энергии от его ориентации в пространстве (условия безразличного равновесия). Поскольку поворот стержня вокруг горизонтальной оси не должен выводить его из состояния равновесия, точка закрепления пружины должна находиться на вертикали, проходящей через шарнир $X = 0, Y = h$. Для любого угла наклона стержня относительно вертикали момент силы тяжести должен быть скомпенсирован моментом силы, действующей на стержень со стороны пружины,
$Mg L/2 \in \alpha = F_{x} l \cos \alpha + F_{y} l \sin \alpha$.
Подстановка сюда явного выражения для силы упругости, создаваемой линейной пружиной с малой длиной в недеформированном состоянии, приводит к равенству $F_{x} = k(l - l_{0}) \sin \alpha \sim kl \sin \alpha, F_{y} = k(l - l_{0}) \cos \alpha \sim kl \cos \alpha, Mg L/2 \sin \alpha = k lh \sin \alpha$. При таком условии равновесие будет безразличным (равенство моментов выполняется при любых углах наклона стержня).
Ответ. Пружина должна быть закреплена на перпендикуляре, проходящей через точку подвеса, на высоте $Mg L/2kl$ над ним.
