Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5419
2017-11-26 
Изогнутая проволока состоит из большого количества полуокружностей радиуса $R$. По проволоке может без трения скользить маленькая бусинка (см. рис.). Проволока наклонена под углом $\alpha = 1/120$ радиана к горизонту. Первоначально бусинка находится на верхнем участке проволоки. Бусинку отпускают. Известно, что к тому моменту, когда бусинка достигла нижнего конца проволоки, она 150 раз испытала состояние невесомости. Найти длину проволоки. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Состояние невесомости бусинка испытывает каждый раз, когда она не давит на проволоку, или, что по третьему закону Ньютона — то же самое, когда сила реакции проволоки обращается в нуль. В процессе спуска по проволоке бусинка будет испытывать состояния невесомости двух типов. Во-первых, в точках, где центростремительное ускорение полностью обеспечивается силой тяжести, и, следовательно, сила реакции проволоки обращается в нуль. Так, например, самое первое состояние невесомости бусинка испытает, скатываясь с первого полукружья, в тот момент, когда направление на бусинку $\beta$ удовлетворяет соотношению $mg \cos \beta = m V^{2}/R$. Скорость же в момент первой невесомости можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии, учитывая, что первоначально бусинка имела нулевую скорость: $mV^{2}/2 = mgR(1 - \cos \beta)$. Первое состояние невесомости бусинка испытает при $\cos \beta = 2/3$. В ходе дальнейшего спуска бусинка будет приходить в аналогично расположенные на других полуокружностях точки, постепенно (и очень медленно, так как угол $\alpha$ мал) разгоняясь. Поскольку в первом уравнении на $\beta$, при котором имеет место невесомость, правая часть, пропорциональная $mV^{2}$, будет расти, то $\cos \beta$ тоже будет расти, а угол $\beta$ — уменьшаться. Кроме того, очевидно, что при подъёме на полуокружность, бусинка испытает аналогичное состояние невесомости в симметричной точке. На рисунке изображены точки, где бусинка испытывает положения невесомости, описанного типа. Итак, положения невесомости встречаются по два на каждой обращённой вверх полуокружности и постепенно сливаются, при этом угол, характеризующий положение невесомости, приближается к нулю. После его обращения в ноль положения невесомости этого типа исчезают. Найдём, сколько состояний невесомости описанного типа опоры на противоположное. При любом конечном размере бусинки это приводит в какой-то момент к обращению силы реакции в ноль. (Здесь можно применить вспомогательное рассуждение. Представим себе «наблюдателя», находящегося в «кабине» внутри бусинки. До прохождения точки перегиба наблюдателя прижимает к левой стенке кабины, после прохождения — к правой. В момент, когда наблюдатель падает с левой стенки на правую, он, конечно, испытывает невесомость). Всего бусинка испытает 150 - 29 = 121 положение невесомости такого рода.
Ответ. Проволока состоит из 122 полуокружностей, и её длина равна $122 \pi R$.
Изогнутая проволока состоит из большого количества полуокружностей радиуса $R$. По проволоке может без трения скользить маленькая бусинка (см. рис.). Проволока наклонена под углом $\alpha = 1/120$ радиана к горизонту. Первоначально бусинка находится на верхнем участке проволоки. Бусинку отпускают. Известно, что к тому моменту, когда бусинка достигла нижнего конца проволоки, она 150 раз испытала состояние невесомости. Найти длину проволоки. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Состояние невесомости бусинка испытывает каждый раз, когда она не давит на проволоку, или, что по третьему закону Ньютона — то же самое, когда сила реакции проволоки обращается в нуль. В процессе спуска по проволоке бусинка будет испытывать состояния невесомости двух типов. Во-первых, в точках, где центростремительное ускорение полностью обеспечивается силой тяжести, и, следовательно, сила реакции проволоки обращается в нуль. Так, например, самое первое состояние невесомости бусинка испытает, скатываясь с первого полукружья, в тот момент, когда направление на бусинку $\beta$ удовлетворяет соотношению $mg \cos \beta = m V^{2}/R$. Скорость же в момент первой невесомости можно найти, воспользовавшись законом сохранения энергии, учитывая, что первоначально бусинка имела нулевую скорость: $mV^{2}/2 = mgR(1 - \cos \beta)$. Первое состояние невесомости бусинка испытает при $\cos \beta = 2/3$. В ходе дальнейшего спуска бусинка будет приходить в аналогично расположенные на других полуокружностях точки, постепенно (и очень медленно, так как угол $\alpha$ мал) разгоняясь. Поскольку в первом уравнении на $\beta$, при котором имеет место невесомость, правая часть, пропорциональная $mV^{2}$, будет расти, то $\cos \beta$ тоже будет расти, а угол $\beta$ — уменьшаться. Кроме того, очевидно, что при подъёме на полуокружность, бусинка испытает аналогичное состояние невесомости в симметричной точке. На рисунке изображены точки, где бусинка испытывает положения невесомости, описанного типа. Итак, положения невесомости встречаются по два на каждой обращённой вверх полуокружности и постепенно сливаются, при этом угол, характеризующий положение невесомости, приближается к нулю. После его обращения в ноль положения невесомости этого типа исчезают. Найдём, сколько состояний невесомости описанного типа опоры на противоположное. При любом конечном размере бусинки это приводит в какой-то момент к обращению силы реакции в ноль. (Здесь можно применить вспомогательное рассуждение. Представим себе «наблюдателя», находящегося в «кабине» внутри бусинки. До прохождения точки перегиба наблюдателя прижимает к левой стенке кабины, после прохождения — к правой. В момент, когда наблюдатель падает с левой стенки на правую, он, конечно, испытывает невесомость). Всего бусинка испытает 150 - 29 = 121 положение невесомости такого рода.
Ответ. Проволока состоит из 122 полуокружностей, и её длина равна $122 \pi R$.
