Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5418
2017-11-26 
Если подуть в графин с длинным узким горлышком, то раздастся звук частоты $\nu$. Найдите объём графина, если площадь сечения горла равна $S$, а длина горла — $l$. Скорость звука в воздухе равна $c$.
Решение:
Звуковые волны, распространяющиеся в узком горле графина, представляют собой продольные колебания плотности воздуха. В рамках школьной программы изучается один из сюжетов, связанных с продольными колебаниями — это гармонические колебания груза, закреплённого на пружине. Поэтому, для объяснения наблюдаемого явления на языке школьной физики, будет естественным обратиться именно к нему. Роль невесомой пружины при этом может играть газ в широкой части сосуда (очевидно, что скорость его движения при акустических колебаниях мала, и он играет роль «упругого буфера», обладающего, главным образом, потенциальной, а не кинетической энергией). Тогда быстро перемещающийся в узком горлышке сосуда газ будет «резервуаром» кинетической энергии — аналогом движущегося массивного груза. Поясним намеченную аналогию подробнее. Уравнение гармонических колебаний связывает упругую силу, действующую на груз со стороны пружины, с его продольным перемещением. Его аналогом здесь будет уравнение состояния звуковой волны, связывающее периодические возмущения давления с сжатием или разряжением воздуха. Запишем изменение массы $\Delta m$ воздуха в элементе длины горлышка графина сечения $S$, связанное с изменением плотности воздуха $\Delta \rho$ при прохождении в горле звуковой волны со скоростью $c, \Delta m \Delta \rho Sc \Delta t$. Соответствующее ей изменение давления тогда запишется как нормированное на единицу площади сечения горлышка отношение переносимого импульса ко времени:
$\Delta p = \frac{ \Delta m c}{ S \Delta t} = c^{2} \Delta \rho$.
Перепишем полученное уравнение состояния в виде уравнения гармонических колебаний. Для этого напомним, что изменение давления в основной части графина обусловлено воздействием на находящийся в ней воздух движущейся «воздушной пробки» в горлышке,
$ \Delta p = \frac{F}{S} = \frac{m x^{ \prime \prime}}{X} = \rho_{0}l x^{ \prime \prime}$.
Поэтому уравнение состояния звуковой волны эквивалентно уравнению гармонических колебаний,
$x^{ \prime \prime} + c^{2} \frac{S}{Vl} x = 0$.
Откуда легко находится циклическая частота таких колебаний, $2 \pi v = \omega = c (S/Vl)^{1/2}$, а также искомый объём широкой части графина.
Ответ. Объём широкой части графина, издающего звук частоты $v$, равен $V = S/l (c/2 \pi v)^{2}$.
Если подуть в графин с длинным узким горлышком, то раздастся звук частоты $\nu$. Найдите объём графина, если площадь сечения горла равна $S$, а длина горла — $l$. Скорость звука в воздухе равна $c$.
Решение:
Звуковые волны, распространяющиеся в узком горле графина, представляют собой продольные колебания плотности воздуха. В рамках школьной программы изучается один из сюжетов, связанных с продольными колебаниями — это гармонические колебания груза, закреплённого на пружине. Поэтому, для объяснения наблюдаемого явления на языке школьной физики, будет естественным обратиться именно к нему. Роль невесомой пружины при этом может играть газ в широкой части сосуда (очевидно, что скорость его движения при акустических колебаниях мала, и он играет роль «упругого буфера», обладающего, главным образом, потенциальной, а не кинетической энергией). Тогда быстро перемещающийся в узком горлышке сосуда газ будет «резервуаром» кинетической энергии — аналогом движущегося массивного груза. Поясним намеченную аналогию подробнее. Уравнение гармонических колебаний связывает упругую силу, действующую на груз со стороны пружины, с его продольным перемещением. Его аналогом здесь будет уравнение состояния звуковой волны, связывающее периодические возмущения давления с сжатием или разряжением воздуха. Запишем изменение массы $\Delta m$ воздуха в элементе длины горлышка графина сечения $S$, связанное с изменением плотности воздуха $\Delta \rho$ при прохождении в горле звуковой волны со скоростью $c, \Delta m \Delta \rho Sc \Delta t$. Соответствующее ей изменение давления тогда запишется как нормированное на единицу площади сечения горлышка отношение переносимого импульса ко времени:
$\Delta p = \frac{ \Delta m c}{ S \Delta t} = c^{2} \Delta \rho$.
Перепишем полученное уравнение состояния в виде уравнения гармонических колебаний. Для этого напомним, что изменение давления в основной части графина обусловлено воздействием на находящийся в ней воздух движущейся «воздушной пробки» в горлышке,
$ \Delta p = \frac{F}{S} = \frac{m x^{ \prime \prime}}{X} = \rho_{0}l x^{ \prime \prime}$.
Поэтому уравнение состояния звуковой волны эквивалентно уравнению гармонических колебаний,
$x^{ \prime \prime} + c^{2} \frac{S}{Vl} x = 0$.
Откуда легко находится циклическая частота таких колебаний, $2 \pi v = \omega = c (S/Vl)^{1/2}$, а также искомый объём широкой части графина.
Ответ. Объём широкой части графина, издающего звук частоты $v$, равен $V = S/l (c/2 \pi v)^{2}$.
