Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5417
2017-11-26 
Какой размер должен иметь наполненный водородом шар для того, чтобы неподвижно висеть вблизи поверхности Земли под градом, падающим с высоко расположенной тучи. Плотности воздуха, водорода и льда равны $\rho, \rho_{В}$ и $\rho_{Л}$ соответственно. Градинки являются небольшими шариками радиуса $r$, упруго отскакивающими от оболочки шара. Количество градинок в единице объёма воздуха равно $n$. Считать, что на сферу, движущуюся в воздухе со скоростью $V$, действует сила сопротивления $F = - \alpha r^{2} V$. Масса оболочки шара пренебрежимо мала.
Решение:
Для вычисления установившейся скорости падения градин запишем условие движения без ускорения при наличии компенсирующих друг друга сил тяжести и сопротивления воздуха:
$0 = ma = mg - F(v) = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{ice} g - \alpha r^{2} v$.
Решая полученное уравнение, находим скорость падения градин $v$. Воздушный шар будет висеть неподвижно, если сила Архимеда скомпенсирована силой тяжести и эффективной силой, действующей на него со стороны падающих градин
$0 = Ma_{H} = F_{A} - Mg - F_{ ice} = ( \rho - \rho_{H} )Vg - \frac{ \Delta P}{ \Delta t}$,
последнюю будем вычислять через скорость изменения импульса, передаваемого градинами шару. Для расчёта передаваемого импульса мысленно разделим поверхность шара на тонкие кольца, положение которых будем характеризовать углом $\theta$ с вертикалью (см. рисунок). Число градин, ударяющих о выделенное кольцо площадью $\Delta S = 2 \pi R^{2} \sin \theta \sin \theta \Delta \theta$ за заданный интервал времени определяется выражением
$\Delta N = n v \Delta t \Delta S \cos \theta = \pi R^{2} nv \sin (2 \theta) \Delta t \Delta \theta$.
Все градины, ударяющиеся о выделенное кольцо, передают в вертикальном направлении одинаковое количество движения $\Delta p = mv (1 + \cos 2 \theta)$. Очевидно, что сумма горизонтальных составляющих импульсов, передаваемых шару всеми градинами, ударяющими в кольцо, равна нулю в силу симметрии системы. Полный импульс, передаваемый одному кольцу за рассматриваемый промежуток времени, равен произведению передаваемого одной частицей импульса на число ударов, $\Delta P( \theta) = \Delta p \Delta N = \pi R^{2} nv^{2} m \sin 2 \theta (1 + \cos 2 \theta ) \Delta t \Delta \theta$. Для нахождения силы, действующей на шар со стороны всех ударяющих о него градин, необходимо выполнить суммирование по всем кольцам. Вычисление такой суммы можно существенно упростить, если осуществлять суммирование по парам колец, расположенных под одинаковыми углами по отношению к направлению $\pi /4$. Для каждой из таких пар колец выполняются соотношения $\sin 2 \phi_{i} = \sin ( \pi - 2 \theta_{i}) = \sin 2 \theta_{i}; \cos 2 \phi_{i} = - \cos 2 \theta_{i}$, в силу которых некоторые слагаемые в суммируемом выражении попарно компенсируются, и выражение для силы существенно упрощается:
$F_{ice} = \sum_{i} \pi R^{2} nv^{2} m \sin 2 \theta_{i} \Delta \theta = mnv^{2} \sum_{i} ( 2 \pi R^{2} \sin \theta_{i} \Delta \theta) \cos \theta_{i} = mnv^{2} \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = mnv^{2} \pi R^{2}$.
В результате элементарных тождественных преобразований находим, что каждое из слагаемых оставшейся суммы пропорционально площади проекции соответствующего ему кольца на экваториальную плоскость шара. Последнее свойство позволяет легко выполнить суммирование. Используя предыдущие соотношения, находим отсюда объём воздушного шара и его радиус.
Ответ. Объём и радиус неподвижно висящего под градом воздушного шара равны:
$V = \left ( \frac{4}{3} \pi \rho_{ice} r \right )^{3} \frac{ n \pi R^{3}g}{ \alpha^{2} ( \rho - \rho_{H})}, R = \frac{16}{9} \frac{ ng ( \pi \rho_{icr} r)^{3}}{ \alpha^{2} ( \rho - \rho_{H})}$.
Какой размер должен иметь наполненный водородом шар для того, чтобы неподвижно висеть вблизи поверхности Земли под градом, падающим с высоко расположенной тучи. Плотности воздуха, водорода и льда равны $\rho, \rho_{В}$ и $\rho_{Л}$ соответственно. Градинки являются небольшими шариками радиуса $r$, упруго отскакивающими от оболочки шара. Количество градинок в единице объёма воздуха равно $n$. Считать, что на сферу, движущуюся в воздухе со скоростью $V$, действует сила сопротивления $F = - \alpha r^{2} V$. Масса оболочки шара пренебрежимо мала.
Решение:
Для вычисления установившейся скорости падения градин запишем условие движения без ускорения при наличии компенсирующих друг друга сил тяжести и сопротивления воздуха:
$0 = ma = mg - F(v) = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{ice} g - \alpha r^{2} v$.
Решая полученное уравнение, находим скорость падения градин $v$. Воздушный шар будет висеть неподвижно, если сила Архимеда скомпенсирована силой тяжести и эффективной силой, действующей на него со стороны падающих градин
$0 = Ma_{H} = F_{A} - Mg - F_{ ice} = ( \rho - \rho_{H} )Vg - \frac{ \Delta P}{ \Delta t}$,
последнюю будем вычислять через скорость изменения импульса, передаваемого градинами шару. Для расчёта передаваемого импульса мысленно разделим поверхность шара на тонкие кольца, положение которых будем характеризовать углом $\theta$ с вертикалью (см. рисунок). Число градин, ударяющих о выделенное кольцо площадью $\Delta S = 2 \pi R^{2} \sin \theta \sin \theta \Delta \theta$ за заданный интервал времени определяется выражением
$\Delta N = n v \Delta t \Delta S \cos \theta = \pi R^{2} nv \sin (2 \theta) \Delta t \Delta \theta$.
Все градины, ударяющиеся о выделенное кольцо, передают в вертикальном направлении одинаковое количество движения $\Delta p = mv (1 + \cos 2 \theta)$. Очевидно, что сумма горизонтальных составляющих импульсов, передаваемых шару всеми градинами, ударяющими в кольцо, равна нулю в силу симметрии системы. Полный импульс, передаваемый одному кольцу за рассматриваемый промежуток времени, равен произведению передаваемого одной частицей импульса на число ударов, $\Delta P( \theta) = \Delta p \Delta N = \pi R^{2} nv^{2} m \sin 2 \theta (1 + \cos 2 \theta ) \Delta t \Delta \theta$. Для нахождения силы, действующей на шар со стороны всех ударяющих о него градин, необходимо выполнить суммирование по всем кольцам. Вычисление такой суммы можно существенно упростить, если осуществлять суммирование по парам колец, расположенных под одинаковыми углами по отношению к направлению $\pi /4$. Для каждой из таких пар колец выполняются соотношения $\sin 2 \phi_{i} = \sin ( \pi - 2 \theta_{i}) = \sin 2 \theta_{i}; \cos 2 \phi_{i} = - \cos 2 \theta_{i}$, в силу которых некоторые слагаемые в суммируемом выражении попарно компенсируются, и выражение для силы существенно упрощается:
$F_{ice} = \sum_{i} \pi R^{2} nv^{2} m \sin 2 \theta_{i} \Delta \theta = mnv^{2} \sum_{i} ( 2 \pi R^{2} \sin \theta_{i} \Delta \theta) \cos \theta_{i} = mnv^{2} \sum_{i} \Delta S_{i} \cos \theta_{i} = mnv^{2} \pi R^{2}$.
В результате элементарных тождественных преобразований находим, что каждое из слагаемых оставшейся суммы пропорционально площади проекции соответствующего ему кольца на экваториальную плоскость шара. Последнее свойство позволяет легко выполнить суммирование. Используя предыдущие соотношения, находим отсюда объём воздушного шара и его радиус.
Ответ. Объём и радиус неподвижно висящего под градом воздушного шара равны:
$V = \left ( \frac{4}{3} \pi \rho_{ice} r \right )^{3} \frac{ n \pi R^{3}g}{ \alpha^{2} ( \rho - \rho_{H})}, R = \frac{16}{9} \frac{ ng ( \pi \rho_{icr} r)^{3}}{ \alpha^{2} ( \rho - \rho_{H})}$.
