Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5416
2017-11-26 
На гладкий бесконечно длинный горизонтальный стержень нанизаны три бусинки (см. рис.). В начальный момент времени бусинки с массой $M$ покоятся, а бусинка с массой $m$ движется со скоростью $V_{0}$. Оценить, какое количество соударений произойдёт у маленькой бусинки с большими бусинками. Найти максимально возможное количество соударений и установившуюся скорость бусинки. Трения нет, удары абсолютно упругие, $M \gg m$.
Решение:
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что в результате единичного соударения лёгкой и тяжёлой бусинок, двигавшихся в одном направлении со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно, величины их скоростей изменяются следующим образом:
$v_{2} = \frac{Mv_{1} - 2Mu_{1} + mv_{1}}{(M+m)}, u_{2} = \frac{Mu_{1} - mu_{1} + 2mv_{1}}{(M +m)}$.
Полагая $m \ll M$, отсюда получаем, что $v_{2} \approx v_{1} - 2u_{1}$, а $u_{2} \approx u_{1} - \mu u_{1} + 2 \mu v_{1}$, где $\mu = m/M \ll 1$. Перепишем последние приближённые равенства в виде отношения конечных разностей
$\frac{ \Delta u}{ \Delta n} = - \mu u + 2 \mu v, \frac{ \Delta v}{ \Delta n} = - 2u$,
описывающих приращения скоростей бусин в течение их элементарного взаимодействия друг с другом. В пределе большого числа соударений $n \gg 1$, такие уравнения могут быть поняты как дифференциальные уравнения, в которых переменная $n$ играет роль времени. Несложно убедиться, что такая система дифференциальных уравнений эквивалентна уравнению затухающих гармонических колебаний для функции $v(n): v^{ \prime \prime} + \mu v + 4 \mu v = 0$, решение которого (удовлетворяющее начальным условиям $v(0)= v_{0}$ и $v^{ \prime}(0) = 0$) есть $v(n) \approx v_{0} e^{ - \mu n / 2} \cos (n \cdot 2 \sqrt{ \mu})$ (здесь мы пренебрегли вкладом порядка $\mu$ по сравнению с $\mu^{1/2}$ в аргументе косинуса, поскольку $\mu \ll 1$). Бусинки перестанут сталкиваться, когда $v \leq u = - v^{ \prime}/2$ (маленькая бусинка перестанет догонять большие). Последнее имеет место для чисел соударений, превосходящих
$n \geq \left [ - \frac{1}{2 \sqrt{ \mu}} arctg \left ( \frac{ \mu - 4}{4 \sqrt{ \mu}} \right ) \right ]$.
Прямоугольные скобки обозначают целую часть числа. График максимального числа соударений бусинок как функция отношения их масс $\mu$ показан на рис. 1. Из приведённого графика видно, что сравнительное большое число соударений между бусинками возможно только, если отношение масс $\mu$ очень мало. В пределе $n_{max} \rightarrow \infty$, когда $\mu \rightarrow 0$.
Ответ. Если отношение массы лёгкой бусинки к массам тяжёлых бусинок очень мало, $\mu \ll 1$, число их столкновений друг с другом не превосходит целой части
$\left [ - \frac{1}{2 \sqrt{ \mu}} arctg \left ( \frac{ \mu - 4}{4 \sqrt{ \mu}} \right ) \right ]$.
Установившаяся скорость бусинки может быть оценена в этом случае как $v_{0} e^{ - \mu n_{max} /2} \cos (n_{max} \cdot 2 \sqrt{ \mu})$. Её график приведён на рис. 2.
На гладкий бесконечно длинный горизонтальный стержень нанизаны три бусинки (см. рис.). В начальный момент времени бусинки с массой $M$ покоятся, а бусинка с массой $m$ движется со скоростью $V_{0}$. Оценить, какое количество соударений произойдёт у маленькой бусинки с большими бусинками. Найти максимально возможное количество соударений и установившуюся скорость бусинки. Трения нет, удары абсолютно упругие, $M \gg m$.
Решение:
Из законов сохранения энергии и импульса следует, что в результате единичного соударения лёгкой и тяжёлой бусинок, двигавшихся в одном направлении со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно, величины их скоростей изменяются следующим образом:
$v_{2} = \frac{Mv_{1} - 2Mu_{1} + mv_{1}}{(M+m)}, u_{2} = \frac{Mu_{1} - mu_{1} + 2mv_{1}}{(M +m)}$.
Полагая $m \ll M$, отсюда получаем, что $v_{2} \approx v_{1} - 2u_{1}$, а $u_{2} \approx u_{1} - \mu u_{1} + 2 \mu v_{1}$, где $\mu = m/M \ll 1$. Перепишем последние приближённые равенства в виде отношения конечных разностей
$\frac{ \Delta u}{ \Delta n} = - \mu u + 2 \mu v, \frac{ \Delta v}{ \Delta n} = - 2u$,
описывающих приращения скоростей бусин в течение их элементарного взаимодействия друг с другом. В пределе большого числа соударений $n \gg 1$, такие уравнения могут быть поняты как дифференциальные уравнения, в которых переменная $n$ играет роль времени. Несложно убедиться, что такая система дифференциальных уравнений эквивалентна уравнению затухающих гармонических колебаний для функции $v(n): v^{ \prime \prime} + \mu v + 4 \mu v = 0$, решение которого (удовлетворяющее начальным условиям $v(0)= v_{0}$ и $v^{ \prime}(0) = 0$) есть $v(n) \approx v_{0} e^{ - \mu n / 2} \cos (n \cdot 2 \sqrt{ \mu})$ (здесь мы пренебрегли вкладом порядка $\mu$ по сравнению с $\mu^{1/2}$ в аргументе косинуса, поскольку $\mu \ll 1$). Бусинки перестанут сталкиваться, когда $v \leq u = - v^{ \prime}/2$ (маленькая бусинка перестанет догонять большие). Последнее имеет место для чисел соударений, превосходящих
$n \geq \left [ - \frac{1}{2 \sqrt{ \mu}} arctg \left ( \frac{ \mu - 4}{4 \sqrt{ \mu}} \right ) \right ]$.
Прямоугольные скобки обозначают целую часть числа. График максимального числа соударений бусинок как функция отношения их масс $\mu$ показан на рис. 1. Из приведённого графика видно, что сравнительное большое число соударений между бусинками возможно только, если отношение масс $\mu$ очень мало. В пределе $n_{max} \rightarrow \infty$, когда $\mu \rightarrow 0$.
Ответ. Если отношение массы лёгкой бусинки к массам тяжёлых бусинок очень мало, $\mu \ll 1$, число их столкновений друг с другом не превосходит целой части
$\left [ - \frac{1}{2 \sqrt{ \mu}} arctg \left ( \frac{ \mu - 4}{4 \sqrt{ \mu}} \right ) \right ]$.
Установившаяся скорость бусинки может быть оценена в этом случае как $v_{0} e^{ - \mu n_{max} /2} \cos (n_{max} \cdot 2 \sqrt{ \mu})$. Её график приведён на рис. 2.
