Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5415
2017-11-26 
Оцените радиус атомного ядра, если известно, что помещённый в него мезон (элементарная частица с зарядом $e$ и массой, превосходящей массу электрона в 200 раз) совершает в нём гармонические колебания с частотой $\omega_{0}$, а энергия, необходимая для выбивания покоящегося мезона из центра ядра, равна $W_{0}$. Считать, что мезон взаимодействует с ядром только электростатически, и для описания его движения применимы законы классической физики.
Решение:
Напряжённость электростатического поля внутри равномерно заряженного шара $E(r < R) = K Qr/R^{3}$, где $K = 1/4 \pi \epsilon_{0}$ может быть найдена с помощью теоремы Гаусса или исходя из двух известных фактов: напряжённость электрического поля внутри равномерно заряженного сферического слоя равна нулю; вне равномерно заряженного слоя электростатическое поле эквивалентно полю точечного заряда, помещённого в центр этого слоя. На мезон, находящийся внутри ядра, действует сила, направленная к центру ядра, величина которой пропорциональна смещению мезона от центра. Уравнение движения частицы под действием такой силы $mr^{ \prime \prime} = - qE$ полностью аналогично уравнению колебаний под действием силы, подчиняющейся закону Гука. Воспользовавшись указанной аналогией, нетрудно получить выражение для частоты колебаний мезона $\omega^{2} = k/m = KqQ r/R^{3}$. Энергия, необходимая для выбивания покоящегося мезона из центра ядра включает, во-первых, энергию, чтобы вывести мезон на поверхность ядра, во-вторых, энергию удаления мезона с поверхности ядра на бесконечность. Первая их энергий может быть найдена как энергия гармонических колебаний с амплитудой, равной радиусу ядра $W_{1} = m \omega_{0}^{2} R^{2}/2$. Выражение для второй части энергии аналогично общеизвестной формуле для энергии, которую нужно сообщить телу на поверхности планеты для того, чтобы оно навсегда её покинуло (определённый интеграл от электростатической силы в пределах от радиуса ядра до бесконечности) $W_{2} = KqQ/R$. Полная энергия выбивания покоящегося мезона из ядра тогда равна $W_{0} = W_{1} + W_{2}$. Последнее равенство позволяет выразить радиус атомного ядра через известную энергию $W_{0}$.
Ответ. В рамках сделанных в условии задачи допущений, радиус ядра оценивается величиной $R = \omega_{0}^{-1} (2 W_{0}/3m)^{1/2}$,
Оцените радиус атомного ядра, если известно, что помещённый в него мезон (элементарная частица с зарядом $e$ и массой, превосходящей массу электрона в 200 раз) совершает в нём гармонические колебания с частотой $\omega_{0}$, а энергия, необходимая для выбивания покоящегося мезона из центра ядра, равна $W_{0}$. Считать, что мезон взаимодействует с ядром только электростатически, и для описания его движения применимы законы классической физики.
Решение:
Напряжённость электростатического поля внутри равномерно заряженного шара $E(r < R) = K Qr/R^{3}$, где $K = 1/4 \pi \epsilon_{0}$ может быть найдена с помощью теоремы Гаусса или исходя из двух известных фактов: напряжённость электрического поля внутри равномерно заряженного сферического слоя равна нулю; вне равномерно заряженного слоя электростатическое поле эквивалентно полю точечного заряда, помещённого в центр этого слоя. На мезон, находящийся внутри ядра, действует сила, направленная к центру ядра, величина которой пропорциональна смещению мезона от центра. Уравнение движения частицы под действием такой силы $mr^{ \prime \prime} = - qE$ полностью аналогично уравнению колебаний под действием силы, подчиняющейся закону Гука. Воспользовавшись указанной аналогией, нетрудно получить выражение для частоты колебаний мезона $\omega^{2} = k/m = KqQ r/R^{3}$. Энергия, необходимая для выбивания покоящегося мезона из центра ядра включает, во-первых, энергию, чтобы вывести мезон на поверхность ядра, во-вторых, энергию удаления мезона с поверхности ядра на бесконечность. Первая их энергий может быть найдена как энергия гармонических колебаний с амплитудой, равной радиусу ядра $W_{1} = m \omega_{0}^{2} R^{2}/2$. Выражение для второй части энергии аналогично общеизвестной формуле для энергии, которую нужно сообщить телу на поверхности планеты для того, чтобы оно навсегда её покинуло (определённый интеграл от электростатической силы в пределах от радиуса ядра до бесконечности) $W_{2} = KqQ/R$. Полная энергия выбивания покоящегося мезона из ядра тогда равна $W_{0} = W_{1} + W_{2}$. Последнее равенство позволяет выразить радиус атомного ядра через известную энергию $W_{0}$.
Ответ. В рамках сделанных в условии задачи допущений, радиус ядра оценивается величиной $R = \omega_{0}^{-1} (2 W_{0}/3m)^{1/2}$,
