Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5414
2017-11-26 
Человек встряхивает капилляр длиной $l$ и радиусом $r$, полностью заполненный жидкостью плотностью $\rho$. При этом капилляр движется по дуге окружности в вертикальной плоскости (см. рис.) вокруг одного из своих концов с угловой скоростью $\omega$. При каком угле $\phi$ жидкость начнёт вытряхиваться из капилляра? Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен $\sigma$.
Решение:
Мысленно разобьём пробирку на $N \gg 1$ малых частей и выпишем равенства сил для двух малых элементов массы, находящихся на расстоянии $x$ от середины пробирки,
$\begin{cases} \delta m \omega^{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = \delta p_{i} \pi r^{2} - \delta m g \cos \phi, \\ \delta m \omega^{2} \left ( \frac{l}{2} + x \right ) = \delta p_{k} \pi r^{2} - \delta m g \cos \phi, \end{cases}$
где $\delta p$ — разность давлений слева и справа от каждого из элементов. Число таких пар равно $N/2$. Просуммировав все аналогичные пары уравнений, получим:
$\frac{1}{2} \rho^{2} \omega^{2} = (p_{B} - p_{A}) - \frac{1}{2} \rho gl \cos \phi$.
Поскольку предельная форма мениска — полусфера, то разность давлений на концах трубки есть $p_{A} - p_{B} = \rho gl \cos \phi + 4 \sigma /r$. Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получим выражение для угла выливания жидкости из капилляра, $\cos \phi = \omega^{2} l/g - 8 \sigma / \rho rgl$. Поскольку $| \cos \phi | < 1$, условие определяет интервал допустимых значений параметров задачи, при нарушении которых жидкость либо выливается из капилляра сразу, либо не выливается оттуда вовсе.
Ответ. Если $| omega^{2} l / g - 8 \sigma / \rho rgl | < 1$, жидкость начнёт выливаться, если $\phi = arccos \left ( \omega^{2} l / g - / \sigma rgl \right )$.
Человек встряхивает капилляр длиной $l$ и радиусом $r$, полностью заполненный жидкостью плотностью $\rho$. При этом капилляр движется по дуге окружности в вертикальной плоскости (см. рис.) вокруг одного из своих концов с угловой скоростью $\omega$. При каком угле $\phi$ жидкость начнёт вытряхиваться из капилляра? Коэффициент поверхностного натяжения жидкости равен $\sigma$.
Решение:
Мысленно разобьём пробирку на $N \gg 1$ малых частей и выпишем равенства сил для двух малых элементов массы, находящихся на расстоянии $x$ от середины пробирки,
$\begin{cases} \delta m \omega^{2} \left ( \frac{l}{2} - x \right ) = \delta p_{i} \pi r^{2} - \delta m g \cos \phi, \\ \delta m \omega^{2} \left ( \frac{l}{2} + x \right ) = \delta p_{k} \pi r^{2} - \delta m g \cos \phi, \end{cases}$
где $\delta p$ — разность давлений слева и справа от каждого из элементов. Число таких пар равно $N/2$. Просуммировав все аналогичные пары уравнений, получим:
$\frac{1}{2} \rho^{2} \omega^{2} = (p_{B} - p_{A}) - \frac{1}{2} \rho gl \cos \phi$.
Поскольку предельная форма мениска — полусфера, то разность давлений на концах трубки есть $p_{A} - p_{B} = \rho gl \cos \phi + 4 \sigma /r$. Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получим выражение для угла выливания жидкости из капилляра, $\cos \phi = \omega^{2} l/g - 8 \sigma / \rho rgl$. Поскольку $| \cos \phi | < 1$, условие определяет интервал допустимых значений параметров задачи, при нарушении которых жидкость либо выливается из капилляра сразу, либо не выливается оттуда вовсе.
Ответ. Если $| omega^{2} l / g - 8 \sigma / \rho rgl | < 1$, жидкость начнёт выливаться, если $\phi = arccos \left ( \omega^{2} l / g - / \sigma rgl \right )$.
