Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5413
2017-11-26 
Тонкий обруч, имеющий массу $M$, которая сосредоточена в оси, на которую он насажен, и радиус $R$ (см. рис.), поставлен на горизонтальную плоскость. По гладкому каналу внутри обруча соскальзывает из верхней точки без начальной скорости шайба массой $m$. Определить скорость центра обруча, когда шайба находится в точке A (под углом $\phi$ от вертикали). Трения нет.
Решение:
Вдоль горизонтальной оси на систему обруча и шайбы не действуют никакие силы, поэтому импульс вдоль этой оси сохраняется:
$MU = m V_{X}$.
Здесь $M$ и $U$ суть масса и скорость обруча, а $V_{X}$ — горизонтальная проекция скорости шайбы. Заметим, что $V_{X}$ и $U$ меняют знак синхронно: когда шайба движется по верхней части обруча, например, вправо, обруч катится влево. Для нижней части обруча — наоборот. Скорости шайбы относительно центра обруча $V_{oтн}$ и относительно земли $V$ связаны как $V = V_{отн} + U$. Отсюда можно выписать связь компонент вектора скорости шайбы со скоростью обруча (см. рис. 1): $tg \phi = V_{Y}/(V_{X} + U)$. Наконец, для системы справедлив закон сохранения энергии $mgR(1 + \cos \phi) = 1/2 mV^{2} + 1/2 MU^{2}$. Законы сохранения и кинематическая связь суть три уравнения, определяющие неизвестные горизонтальную и вертикальную проекции скорости шайбы $V_{X}$ и $V_{Y}$, вместе со скоростью обруча $U$. Решения уравнений удобно записать, воспользовавшись безразмерными скоростями $u = U/(2gR)^{1/2}$ и $v = V/(2gR)^{1/2}$, а также отношением масс обруча и шайбы $\mu = M/m$:
$u = \cos \phi \sqrt{ \frac{1 + \cos \phi}{(1 + \mu)( \mu + \sin^{2} \phi)}}, v_{x} = \mu u, v_{y} = (1 + \mu) u tg \phi$.
Интересно проследить, как «обмениваются» скоростями обруч и шайба при разных отношениях их масс $\mu$. На рис. 2-4 изображены зависимости вертикальной компоненты безразмерных скорости шайбы $v_{y}$ (сплошная линия) и скорости центра обруча $u$ (прерывистая линия) от положения шайбы в обруче $\phi$ (измеряемого в радианах). Шайба стартует из точки $\pi$ (верхнего положения) без начальной скорости $v_{y} ( \pi ) = 0$ и скользит вниз $v_{y} > 0$, к точке 0. В нижней точке вертикальная скорость шайбы равна нулю $v_{y}(0) = 0$. Пройдя нижнюю точку, шайба начинает движение в обратном направлении, вверх, $v_{y} < 0$, возвращаясь в верхнее положение с $v_{y}(- \pi) = 0$. Направление движения обруча меняется на противоположное, когда шайба проходит через точки $\phi = \pm \pi /2$. Скорость обруча максимальна, когда шайба находится в $\phi = 0$. Если массивная шайба скользит внутри очень лёгкого обруча, $\mu \ll 1$ (рис. 2 построен для $\mu = 0,01$), то движение обруча приобретает характер толчков, происходящих, когда шайба находится вблизи нижней точки. Сама шайба в этот момент скачком меняет свою скорость на противоположную так, как это происходит например при упругом ударе о неподвижную стенку. Допуская увеличение $\mu$ (см. рис. 3), мы наблюдаем постепенное сглаживание характера движения системы. Наконец, движение лёгкой шайбы внутри тяжёлого обруча, $\mu \gg 1$ (на рис. 4 выбрано $\mu = 100$), подобно гармоническим колебаниям.
Ответ. Скорость центра обруча, когда шайба находится под углом $\phi$ к вертикали равна
$\frac{U}{ \sqrt{2gR}} = \cos \phi \sqrt{ \frac{1 + \cos \phi}{ (1 + M/m)(M/m + \sin^{2} \phi)}}$.
Тонкий обруч, имеющий массу $M$, которая сосредоточена в оси, на которую он насажен, и радиус $R$ (см. рис.), поставлен на горизонтальную плоскость. По гладкому каналу внутри обруча соскальзывает из верхней точки без начальной скорости шайба массой $m$. Определить скорость центра обруча, когда шайба находится в точке A (под углом $\phi$ от вертикали). Трения нет.
Решение:
Вдоль горизонтальной оси на систему обруча и шайбы не действуют никакие силы, поэтому импульс вдоль этой оси сохраняется:
$MU = m V_{X}$.
Здесь $M$ и $U$ суть масса и скорость обруча, а $V_{X}$ — горизонтальная проекция скорости шайбы. Заметим, что $V_{X}$ и $U$ меняют знак синхронно: когда шайба движется по верхней части обруча, например, вправо, обруч катится влево. Для нижней части обруча — наоборот. Скорости шайбы относительно центра обруча $V_{oтн}$ и относительно земли $V$ связаны как $V = V_{отн} + U$. Отсюда можно выписать связь компонент вектора скорости шайбы со скоростью обруча (см. рис. 1): $tg \phi = V_{Y}/(V_{X} + U)$. Наконец, для системы справедлив закон сохранения энергии $mgR(1 + \cos \phi) = 1/2 mV^{2} + 1/2 MU^{2}$. Законы сохранения и кинематическая связь суть три уравнения, определяющие неизвестные горизонтальную и вертикальную проекции скорости шайбы $V_{X}$ и $V_{Y}$, вместе со скоростью обруча $U$. Решения уравнений удобно записать, воспользовавшись безразмерными скоростями $u = U/(2gR)^{1/2}$ и $v = V/(2gR)^{1/2}$, а также отношением масс обруча и шайбы $\mu = M/m$:
$u = \cos \phi \sqrt{ \frac{1 + \cos \phi}{(1 + \mu)( \mu + \sin^{2} \phi)}}, v_{x} = \mu u, v_{y} = (1 + \mu) u tg \phi$.
Интересно проследить, как «обмениваются» скоростями обруч и шайба при разных отношениях их масс $\mu$. На рис. 2-4 изображены зависимости вертикальной компоненты безразмерных скорости шайбы $v_{y}$ (сплошная линия) и скорости центра обруча $u$ (прерывистая линия) от положения шайбы в обруче $\phi$ (измеряемого в радианах). Шайба стартует из точки $\pi$ (верхнего положения) без начальной скорости $v_{y} ( \pi ) = 0$ и скользит вниз $v_{y} > 0$, к точке 0. В нижней точке вертикальная скорость шайбы равна нулю $v_{y}(0) = 0$. Пройдя нижнюю точку, шайба начинает движение в обратном направлении, вверх, $v_{y} < 0$, возвращаясь в верхнее положение с $v_{y}(- \pi) = 0$. Направление движения обруча меняется на противоположное, когда шайба проходит через точки $\phi = \pm \pi /2$. Скорость обруча максимальна, когда шайба находится в $\phi = 0$. Если массивная шайба скользит внутри очень лёгкого обруча, $\mu \ll 1$ (рис. 2 построен для $\mu = 0,01$), то движение обруча приобретает характер толчков, происходящих, когда шайба находится вблизи нижней точки. Сама шайба в этот момент скачком меняет свою скорость на противоположную так, как это происходит например при упругом ударе о неподвижную стенку. Допуская увеличение $\mu$ (см. рис. 3), мы наблюдаем постепенное сглаживание характера движения системы. Наконец, движение лёгкой шайбы внутри тяжёлого обруча, $\mu \gg 1$ (на рис. 4 выбрано $\mu = 100$), подобно гармоническим колебаниям.
Ответ. Скорость центра обруча, когда шайба находится под углом $\phi$ к вертикали равна
$\frac{U}{ \sqrt{2gR}} = \cos \phi \sqrt{ \frac{1 + \cos \phi}{ (1 + M/m)(M/m + \sin^{2} \phi)}}$.
