Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5408
2017-11-26 
В далёком космосе находятся два массивных металлических шара радиусами $R_{1} = 10 см$ и $R_{2} = 20 см$, соединённых тонкой проводящей проволокой. В некоторый момент времени их скорости были равны нулю, расстояние между их центрами было $L = 1 м$, а суммарный заряд равен $Q = 10^{-4} Кл$. Найдите кинетическую энергию шаров, когда расстояние между ними станет очень велико.
Решение:
Решение задачи можно последовательно уточнять практически до бесконечности, поскольку, строгое вычисление ёмкости системы двух шаров требует, вообще говоря, учёта всех членов мультипольного разложения. Последнее выходит за рамки школьной программы. В самом грубом приближении, кинетическую энергию шаров можно вычислять, предполагая, что заряды шаров не изменяются. Подстановка конкретных числовых значений, сообщаемых в условии задачи, показывает, что относительная ошибка в таком приближении составляет всего 9%. На следующем шаге можно оценить, как влияет заряд первого шара на относительный потенциал второго. Третьим шагом могла бы стать возможная оценка влияния диполь-ного момента первого шара на потенциал второго шара. Последовательность вычисления поправок можно продолжать. Следует, однако, заметить, что вклад каждой следующей поправки в результат примерно на порядок меньше вклада предыдущей, поэтому дальнейшие уточнения результата вскоре теряют смысл. Ниже, в решении, мы воспроизведём первые приближения к решению задачи, сопроводив их оценкой того, что дальнейшие поправки действительно малы. Суммарный заряд системы сохраняется $Q = q_{1} + q_{2}$, и равенство $q_{1}/R_{1} + q_{2}/L = q_{1} /L + q_{2}/R_{2}$ выражает закон сохранения энергии и позволяет найти заряды $q_{1} = Q cot (R_{1} cot L - R_{1} cot R_{2})(R_{1} cot L + R_{2} cot L - 2R_{1} cot R_{2})^{-1}, q_{2} = Q - q_{1}$. Разность потенциалов в начальном приближении имеет вид:
$U = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{L - R_{2}}{ R_{2} L + R_{1}L - 2 R_{1}R_{2}} + \frac{R_{2} - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )$.
Здесь, первое слагаемое в скобках выражает потенциал первого шара относительно второго, а второе слагаемое — поправку к потенциалу, которая обусловлена влиянием «монополя» первого шара. В этом же приближении вычислим кинетическую энергию
$E^{(0)} = \frac{QU}{2} = \frac{Q^{2}}{8 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{L - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{ R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )$.
Теперь приступим к качественным оценкам величины следующего приближения. Введём «приведённый» радиус электростатической системы:
$\left ( \frac{L - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{ R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )^{-1}$.
Обозначим его $R$. Электрический дипольный момент системы удовлетворяет оценке $P \sim R^{-2}$. Изменение потенциала, связанное с влиянием дипольного момента, будет иметь вид $\Delta \phi \sim PR^{-2} \sim R^{-4}$. Тогда, относительный вклад «дипольной» поправки убывает обратно пропорционально кубу приведённого радиуса $\Delta \phi / \phi \sim R^{-3}$. Процедура последовательного уточнения решения может быть продолжена.
Ответ. В грубом приближении кинетическая энергия шаров есть $E^{(0)} = Q^{2}/8 \pi \epsilon_{0} R$,где $R$ — приведённый радиус электростатической системы. Учёт дипольного взаимодействия даёт относительную поправку $\Delta \phi/ \phi \sim R^{-3}$.
В далёком космосе находятся два массивных металлических шара радиусами $R_{1} = 10 см$ и $R_{2} = 20 см$, соединённых тонкой проводящей проволокой. В некоторый момент времени их скорости были равны нулю, расстояние между их центрами было $L = 1 м$, а суммарный заряд равен $Q = 10^{-4} Кл$. Найдите кинетическую энергию шаров, когда расстояние между ними станет очень велико.
Решение:
Решение задачи можно последовательно уточнять практически до бесконечности, поскольку, строгое вычисление ёмкости системы двух шаров требует, вообще говоря, учёта всех членов мультипольного разложения. Последнее выходит за рамки школьной программы. В самом грубом приближении, кинетическую энергию шаров можно вычислять, предполагая, что заряды шаров не изменяются. Подстановка конкретных числовых значений, сообщаемых в условии задачи, показывает, что относительная ошибка в таком приближении составляет всего 9%. На следующем шаге можно оценить, как влияет заряд первого шара на относительный потенциал второго. Третьим шагом могла бы стать возможная оценка влияния диполь-ного момента первого шара на потенциал второго шара. Последовательность вычисления поправок можно продолжать. Следует, однако, заметить, что вклад каждой следующей поправки в результат примерно на порядок меньше вклада предыдущей, поэтому дальнейшие уточнения результата вскоре теряют смысл. Ниже, в решении, мы воспроизведём первые приближения к решению задачи, сопроводив их оценкой того, что дальнейшие поправки действительно малы. Суммарный заряд системы сохраняется $Q = q_{1} + q_{2}$, и равенство $q_{1}/R_{1} + q_{2}/L = q_{1} /L + q_{2}/R_{2}$ выражает закон сохранения энергии и позволяет найти заряды $q_{1} = Q cot (R_{1} cot L - R_{1} cot R_{2})(R_{1} cot L + R_{2} cot L - 2R_{1} cot R_{2})^{-1}, q_{2} = Q - q_{1}$. Разность потенциалов в начальном приближении имеет вид:
$U = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{L - R_{2}}{ R_{2} L + R_{1}L - 2 R_{1}R_{2}} + \frac{R_{2} - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )$.
Здесь, первое слагаемое в скобках выражает потенциал первого шара относительно второго, а второе слагаемое — поправку к потенциалу, которая обусловлена влиянием «монополя» первого шара. В этом же приближении вычислим кинетическую энергию
$E^{(0)} = \frac{QU}{2} = \frac{Q^{2}}{8 \pi \epsilon_{0}} \left ( \frac{L - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{ R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )$.
Теперь приступим к качественным оценкам величины следующего приближения. Введём «приведённый» радиус электростатической системы:
$\left ( \frac{L - \frac{R_{1}R_{2}}{L}}{ R_{2}L + R_{1}L - 2R_{1}R_{2}} \right )^{-1}$.
Обозначим его $R$. Электрический дипольный момент системы удовлетворяет оценке $P \sim R^{-2}$. Изменение потенциала, связанное с влиянием дипольного момента, будет иметь вид $\Delta \phi \sim PR^{-2} \sim R^{-4}$. Тогда, относительный вклад «дипольной» поправки убывает обратно пропорционально кубу приведённого радиуса $\Delta \phi / \phi \sim R^{-3}$. Процедура последовательного уточнения решения может быть продолжена.
Ответ. В грубом приближении кинетическая энергия шаров есть $E^{(0)} = Q^{2}/8 \pi \epsilon_{0} R$,где $R$ — приведённый радиус электростатической системы. Учёт дипольного взаимодействия даёт относительную поправку $\Delta \phi/ \phi \sim R^{-3}$.
