Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5406
2017-11-26 
Плоский диск радиуса $R$ из диэлектрического материала равномерно заряжен зарядом $Q$. К середине диска прикреплена заземлённая металлическая сфера радиусом $r \ll R$, так что она касается диска. Найдите электростатическую силу, с которой диск действует на сферу.
Решение:
Так как размер металлического шара много меньше диаметра диска можно считать, что он находится в однородном электрическом поле $E = \sigma /(2 \epsilon_{0})$, где $\sigma = Q/ \pi R^{2}$ — поверхностная плотность заряда диска. Электростатическая сила, действующая на шар равна $F = E|q|$, где $q$ — суммарный заряд, сосредоточенный на шаре. Так как электрического поля внутри сферы нет, потенциал в центре сферы равен потенциалу на её поверхности, т. е. нулю (сфера заземлена). С другой стороны, этот потенциал равен сумме потенциалов создаваемых диском и распределением зарядов на шаре.
Рассчитаем потенциал в середине диска создаваемый зарядами диска (так как $r \ll R$ он равен потенциалу в центре сферы). Для этого можно разбить диск на кольца шириной $\delta A$ и сложить потенциалы создаваемые всеми кольцами. Рассмотрим кольцо радиуса $A$, его заряд равен $2 \pi \sigma A \delta A$. В своём центре оно создаёт потенциал $\delta \Phi = 2 \pi \sigma A \delta A/A/(4 \pi \epsilon_{0}) = \sigma \delta A/(2 \epsilon_{0})$. Суммируя по всем кольцам и учитывая $\sum \delta A = R$, получим, что потенциал в центре сферы создаваемый зарядами диска равен $\Phi_{1} = \sigma R/(2 \epsilon_{0})$. Потенциал в центре сферы создаваемый зарядами на сфере в свою очередь равен $\Phi_{2} = q/(4 \pi \epsilon_{0} r)$. Учитывая, что $\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$ мы получим $q = - 2 \sigma \pi rR$. Сила действующая на шар равна $F = \pi \sigma^{2} rR/ \epsilon_{0}$.
Ответ. Электростатическая сила, с которой диск действует на сферу, равна $F = r Q^{2}/ \pi \epsilon_{0} R^{3}$.
Плоский диск радиуса $R$ из диэлектрического материала равномерно заряжен зарядом $Q$. К середине диска прикреплена заземлённая металлическая сфера радиусом $r \ll R$, так что она касается диска. Найдите электростатическую силу, с которой диск действует на сферу.
Решение:
Так как размер металлического шара много меньше диаметра диска можно считать, что он находится в однородном электрическом поле $E = \sigma /(2 \epsilon_{0})$, где $\sigma = Q/ \pi R^{2}$ — поверхностная плотность заряда диска. Электростатическая сила, действующая на шар равна $F = E|q|$, где $q$ — суммарный заряд, сосредоточенный на шаре. Так как электрического поля внутри сферы нет, потенциал в центре сферы равен потенциалу на её поверхности, т. е. нулю (сфера заземлена). С другой стороны, этот потенциал равен сумме потенциалов создаваемых диском и распределением зарядов на шаре.
Рассчитаем потенциал в середине диска создаваемый зарядами диска (так как $r \ll R$ он равен потенциалу в центре сферы). Для этого можно разбить диск на кольца шириной $\delta A$ и сложить потенциалы создаваемые всеми кольцами. Рассмотрим кольцо радиуса $A$, его заряд равен $2 \pi \sigma A \delta A$. В своём центре оно создаёт потенциал $\delta \Phi = 2 \pi \sigma A \delta A/A/(4 \pi \epsilon_{0}) = \sigma \delta A/(2 \epsilon_{0})$. Суммируя по всем кольцам и учитывая $\sum \delta A = R$, получим, что потенциал в центре сферы создаваемый зарядами диска равен $\Phi_{1} = \sigma R/(2 \epsilon_{0})$. Потенциал в центре сферы создаваемый зарядами на сфере в свою очередь равен $\Phi_{2} = q/(4 \pi \epsilon_{0} r)$. Учитывая, что $\Phi_{1} + \Phi_{2} = 0$ мы получим $q = - 2 \sigma \pi rR$. Сила действующая на шар равна $F = \pi \sigma^{2} rR/ \epsilon_{0}$.
Ответ. Электростатическая сила, с которой диск действует на сферу, равна $F = r Q^{2}/ \pi \epsilon_{0} R^{3}$.
