Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5405
2017-11-26 
Однородная резинка пренебрежимо малой начальной длины при растяжении подчиняется закону Гука и имеет жёсткость $K$. Материал резинки равномерно заряжен, её полный заряд $Q > 0$. Резинку поместили в поле двух зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на расстоянии $2L$ друг от друга (см. рис.). Один из концов резинки удерживают посередине между зарядами, прикладывая при этом силу $F_{1}$. Какая сила $F_{2}$ должна быть приложена для удержания второго конца, если он находится на расстоянии $L$ справа от заряда $q$? Взаимодействием зарядов на резинке между собой пренебречь.
Решение:
Введём координату $\tau$ для всех точек на резинке, равную отношению длины резинки от этой точки до одного из концов ко всей длине резинки, когда она находится в нерастянутом состоянии. Таким образом, $\tau$ равномерно «нумерует» все точки на резинке и изменяется от 0 до 1 от одного конца к другому. Рассмотрим теперь деформированную резинку, помещённую в некоторое электрическое поле $\vec{E}$. Пусть точка резинки с координатой $\tau$ имеет радиус-вектор $\vec{r}$, а координате $( \tau + \Delta \tau)$ соответствует радиус-вектор $( \vec{r} + \Delta \vec{r})$, причём $\Delta \tau$ и $\Delta \vec{r}$ малы — рассматриваем малый участок резинки. Жёсткость этого участка равна $K/ \Delta \tau$ (жёсткость обратно пропорциональна длине в нерастянутом состоянии). Поэтому возникающая сила натяжения равна
$\vec{T} = K \Delta \vec{r}/ \Delta \tau$.
Здесь мы пренебрегли начальной длиной по сравнению с длиной в нерастянутом состоянии, посчитав, что растяжение равно $\Delta \vec{r}$. Вектор $\vec{T}$ направлен по касательной к резинке, в сторону увеличения $\tau$. Теперь перейдём к рассмотрению условия равновесия каждого маленького участка резинки в поле. Пусть в точке с координатой $\tau$ сила натяжения равна $\vec{T}$. Её величину в точке $( \tau + \Delta \tau)$ обозначим $\vec{T} + \Delta \vec{T}$. Заряд такого участка, очевидно, равен $Q \Delta \tau$.
Пусть электрическое поле в окрестности этого участка резинки равно $\vec{E}$, тогда уравнение равновесия будет иметь вид $\Delta \vec{T} + \vec{Q} \Delta \tau \vec{E} = 0$. Откуда следует, что
$\Delta \vec{T}/ \Delta \tau = - \vec{Q} \vec{E}$.
Уравнения движения для $\vec{T}$ и её производной $\Delta \vec{T}/ \Delta \tau$ аналогичны уравнениям движения частицы с зарядом ($- Q$) вполе $\vec{E}$. Известно, что при движении частицы в электрическом поле сохраняется энергия, $p^{2}/2m - Q \phi (r) = const$. Аналогичный закон сохранения для $\vec{T}$ несложно выводится из уравнений движения, $T^{2}/2K - Q \phi(r) = const$. Для любых двух точек на резинке он позволяет выписать равенство $F^{2}/2K - Q \phi_{1} = F_{2}^{2}/2K - Q \phi_{2}$. В частности, положим $\phi_{1} = 0$ — потенциал на левом конце резинки, а $\phi_{2} = kq/L - kq/3L$ — на правом. Тогда из последнего равенства сразу следует связь между $F_{1}$ и $F_{2}$.
Ответ. Для удержания второго конца к нему должна быть приложена сила $F_{2} = \sqrt{ F_{1}^{2} + \frac{4}{3} kK \frac{q}{L} }$.
Примечание. Задачу можно было также решать методом виртуальной работы. Предположим, что мы зафиксировали форму, которую приняла резинка (например, поместили её внутрь гладкого желоба) и после этого медленно потянули за точку 2. Сдвинем резинку вдоль самой себя на часть $\Delta \tau$. Такой сдвиг можно рассматривать как перенос кусочка $\Delta \tau$ из точки 1 в точку 2. Изменение энергии резинки $\Delta E$ равно разности энергий кусочка в точках 1 и 2. Энергия кусочка длиной $\Delta x$ складывается из потенциальной энергии в поле внешних зарядов и упругой энергии растяжения $\Delta E = \Delta \tau Q \phi + (K/ \Delta \tau ) \Delta x^{2}/2 = \Delta \tau (Q \phi + F^{2}/(2K))$. Произведённая работа равна $F_{1} \Delta x_{1} - F_{2} \Delta x_{2}$, где $\Delta x_{1,2}$ — путь, пройденный соответствующим концом резинки. Снова имеем $F_{1} \Delta x_{1} - F_{2} \Delta x_{2} = \Delta E_{1} - \Delta E_{2}$. Откуда, с учётом равенства $K \Delta x_{1,2}/ \Delta \tau = F_{1,2}$ получается закон сохранения и ответ.
Однородная резинка пренебрежимо малой начальной длины при растяжении подчиняется закону Гука и имеет жёсткость $K$. Материал резинки равномерно заряжен, её полный заряд $Q > 0$. Резинку поместили в поле двух зарядов $+q$ и $-q$, расположенных на расстоянии $2L$ друг от друга (см. рис.). Один из концов резинки удерживают посередине между зарядами, прикладывая при этом силу $F_{1}$. Какая сила $F_{2}$ должна быть приложена для удержания второго конца, если он находится на расстоянии $L$ справа от заряда $q$? Взаимодействием зарядов на резинке между собой пренебречь.
Решение:
Введём координату $\tau$ для всех точек на резинке, равную отношению длины резинки от этой точки до одного из концов ко всей длине резинки, когда она находится в нерастянутом состоянии. Таким образом, $\tau$ равномерно «нумерует» все точки на резинке и изменяется от 0 до 1 от одного конца к другому. Рассмотрим теперь деформированную резинку, помещённую в некоторое электрическое поле $\vec{E}$. Пусть точка резинки с координатой $\tau$ имеет радиус-вектор $\vec{r}$, а координате $( \tau + \Delta \tau)$ соответствует радиус-вектор $( \vec{r} + \Delta \vec{r})$, причём $\Delta \tau$ и $\Delta \vec{r}$ малы — рассматриваем малый участок резинки. Жёсткость этого участка равна $K/ \Delta \tau$ (жёсткость обратно пропорциональна длине в нерастянутом состоянии). Поэтому возникающая сила натяжения равна
$\vec{T} = K \Delta \vec{r}/ \Delta \tau$.
Здесь мы пренебрегли начальной длиной по сравнению с длиной в нерастянутом состоянии, посчитав, что растяжение равно $\Delta \vec{r}$. Вектор $\vec{T}$ направлен по касательной к резинке, в сторону увеличения $\tau$. Теперь перейдём к рассмотрению условия равновесия каждого маленького участка резинки в поле. Пусть в точке с координатой $\tau$ сила натяжения равна $\vec{T}$. Её величину в точке $( \tau + \Delta \tau)$ обозначим $\vec{T} + \Delta \vec{T}$. Заряд такого участка, очевидно, равен $Q \Delta \tau$.
Пусть электрическое поле в окрестности этого участка резинки равно $\vec{E}$, тогда уравнение равновесия будет иметь вид $\Delta \vec{T} + \vec{Q} \Delta \tau \vec{E} = 0$. Откуда следует, что
$\Delta \vec{T}/ \Delta \tau = - \vec{Q} \vec{E}$.
Уравнения движения для $\vec{T}$ и её производной $\Delta \vec{T}/ \Delta \tau$ аналогичны уравнениям движения частицы с зарядом ($- Q$) вполе $\vec{E}$. Известно, что при движении частицы в электрическом поле сохраняется энергия, $p^{2}/2m - Q \phi (r) = const$. Аналогичный закон сохранения для $\vec{T}$ несложно выводится из уравнений движения, $T^{2}/2K - Q \phi(r) = const$. Для любых двух точек на резинке он позволяет выписать равенство $F^{2}/2K - Q \phi_{1} = F_{2}^{2}/2K - Q \phi_{2}$. В частности, положим $\phi_{1} = 0$ — потенциал на левом конце резинки, а $\phi_{2} = kq/L - kq/3L$ — на правом. Тогда из последнего равенства сразу следует связь между $F_{1}$ и $F_{2}$.
Ответ. Для удержания второго конца к нему должна быть приложена сила $F_{2} = \sqrt{ F_{1}^{2} + \frac{4}{3} kK \frac{q}{L} }$.
Примечание. Задачу можно было также решать методом виртуальной работы. Предположим, что мы зафиксировали форму, которую приняла резинка (например, поместили её внутрь гладкого желоба) и после этого медленно потянули за точку 2. Сдвинем резинку вдоль самой себя на часть $\Delta \tau$. Такой сдвиг можно рассматривать как перенос кусочка $\Delta \tau$ из точки 1 в точку 2. Изменение энергии резинки $\Delta E$ равно разности энергий кусочка в точках 1 и 2. Энергия кусочка длиной $\Delta x$ складывается из потенциальной энергии в поле внешних зарядов и упругой энергии растяжения $\Delta E = \Delta \tau Q \phi + (K/ \Delta \tau ) \Delta x^{2}/2 = \Delta \tau (Q \phi + F^{2}/(2K))$. Произведённая работа равна $F_{1} \Delta x_{1} - F_{2} \Delta x_{2}$, где $\Delta x_{1,2}$ — путь, пройденный соответствующим концом резинки. Снова имеем $F_{1} \Delta x_{1} - F_{2} \Delta x_{2} = \Delta E_{1} - \Delta E_{2}$. Откуда, с учётом равенства $K \Delta x_{1,2}/ \Delta \tau = F_{1,2}$ получается закон сохранения и ответ.
