Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5403
2017-11-26 
Полный заряд параллелепипеда, равномерно заряженного по всему объёму, равен $Q_{1}$. После того, как по всем граням параллелепипеда, кроме грани ABCD, равномерно распределили ещё и поверхностный заряд $Q_{2}$, поле в точке $F$ оказывается равным нулю. Определите величину отношения $Q_{2}/Q_{1}$. Длины рёбер параллелепипеда указаны на рис.
Решение:
Вырежем из параллелепипеда коробку (состоящую из 5 граней) с толщиной стенок $\Delta x$ и имеющую такие же рёбра, как и исходный параллелепипед. Рассмотрим также вторую коробку с такой же толщиной стенок и заряженную с той же плотностью заряда, но все рёбра которой в $k$ раз меньше рёбер первой. Напряжённость поля в центре верхней (пустой) грани для каждой коробки будет одинаковым. Действительно, разобьём грани первой коробки на много маленьких площадок, так что каждую из них можно рассматривать как элементарный заряд. Сделаем аналогичное разбиение на второй коробке, так, чтобы у каждого элемента первой коробки был её масштабированный аналог на второй. Заряд каждого элемента первой коробки в $k^{2}$ раз больше, чем у второй коробки, зато расстояние от этого элемента до центра пустой грани в $k$ раз больше. Так как поле каждого из элемента пропорционально его заряду и обратно пропорционально квадрату расстояния, видно, что соответствующие элементы коробок создают одинаковые вклады на которые можно разбить интересующее нас поле. Таким образом, напряжённость поля, создаваемого коробкой зависит только $\rho$ и $\Delta x$. Из этих величин можно единственным способом составить величину, имеющую размерность напряжённости: $\rho \Delta x$. Значит поле коробки $E_{К} = K \rho \Delta x$, где $K$ — безразмерный коэффициент пропорциональности. Разобьём наш исходный параллелепипед на множество коробок со стенками одинаковой толщины и пропорционально убывающей длиной рёбер. Напряжённость поля в интересующей нас точке $F$ для параллелепипеда с распределённым по объёму зарядом $Q_{1}$ будет равно сумме полей всех коробок, т. е. $E_{П} = K \rho a = KQ_{1} a/V = K Q_{1}/4a$. Поверхностный заряд можно рассматривать как заряд, размещённый в очень тонком слое $\delta$ на поверхности. Напряжённость поля, создаваемая этим зарядом, суть $E = K \rho_{2} \delta = KQ_{2} \delta / V_{2}$, где $V_{2}$ — объём, в котором размещён поверхностный заряд. Подставляя $V_{2} = 12a^{3} \delta$ в выражение для $E$, получим $E = K Q_{2}/12a^{2}$. Поскольку поле в точке $F$ равно нулю, то справедливо равенство $E_{П} = - E$, откуда непосредственно и следует ответ.
Ответ. Отношение зарядов равно $Q_{2}/Q_{1} = -3$.
Полный заряд параллелепипеда, равномерно заряженного по всему объёму, равен $Q_{1}$. После того, как по всем граням параллелепипеда, кроме грани ABCD, равномерно распределили ещё и поверхностный заряд $Q_{2}$, поле в точке $F$ оказывается равным нулю. Определите величину отношения $Q_{2}/Q_{1}$. Длины рёбер параллелепипеда указаны на рис.
Решение:
Вырежем из параллелепипеда коробку (состоящую из 5 граней) с толщиной стенок $\Delta x$ и имеющую такие же рёбра, как и исходный параллелепипед. Рассмотрим также вторую коробку с такой же толщиной стенок и заряженную с той же плотностью заряда, но все рёбра которой в $k$ раз меньше рёбер первой. Напряжённость поля в центре верхней (пустой) грани для каждой коробки будет одинаковым. Действительно, разобьём грани первой коробки на много маленьких площадок, так что каждую из них можно рассматривать как элементарный заряд. Сделаем аналогичное разбиение на второй коробке, так, чтобы у каждого элемента первой коробки был её масштабированный аналог на второй. Заряд каждого элемента первой коробки в $k^{2}$ раз больше, чем у второй коробки, зато расстояние от этого элемента до центра пустой грани в $k$ раз больше. Так как поле каждого из элемента пропорционально его заряду и обратно пропорционально квадрату расстояния, видно, что соответствующие элементы коробок создают одинаковые вклады на которые можно разбить интересующее нас поле. Таким образом, напряжённость поля, создаваемого коробкой зависит только $\rho$ и $\Delta x$. Из этих величин можно единственным способом составить величину, имеющую размерность напряжённости: $\rho \Delta x$. Значит поле коробки $E_{К} = K \rho \Delta x$, где $K$ — безразмерный коэффициент пропорциональности. Разобьём наш исходный параллелепипед на множество коробок со стенками одинаковой толщины и пропорционально убывающей длиной рёбер. Напряжённость поля в интересующей нас точке $F$ для параллелепипеда с распределённым по объёму зарядом $Q_{1}$ будет равно сумме полей всех коробок, т. е. $E_{П} = K \rho a = KQ_{1} a/V = K Q_{1}/4a$. Поверхностный заряд можно рассматривать как заряд, размещённый в очень тонком слое $\delta$ на поверхности. Напряжённость поля, создаваемая этим зарядом, суть $E = K \rho_{2} \delta = KQ_{2} \delta / V_{2}$, где $V_{2}$ — объём, в котором размещён поверхностный заряд. Подставляя $V_{2} = 12a^{3} \delta$ в выражение для $E$, получим $E = K Q_{2}/12a^{2}$. Поскольку поле в точке $F$ равно нулю, то справедливо равенство $E_{П} = - E$, откуда непосредственно и следует ответ.
Ответ. Отношение зарядов равно $Q_{2}/Q_{1} = -3$.
