Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5402
2017-11-26 
В сосуде из непроводящего материала находятся равные объёмы двух несмешивающихся жидкостей, удельные электрические сопротивления которых $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, соответственно (см. рис.). В сосуд вмонтировано два электрода $Э_{1}$ и $Э_{2}$, к ним подсоединён источник тока, который, независимо от сопротивления цепи, даёт ток $I$. Верхний электрод представляет из себя подвижный поршень. В нижней части сосуда имеется клапан, через который ежесекундно протекает $k$ капель жидкости объёмом $v$. После того, как первая жидкость полностью вытекла из сосуда, клапан закрывают. Какое количество тепла выделится за время, равное удвоенному времени вытекания первой жидкости? Площадь дна сосуда и электродов равна $S$, первоначальный объём каждой жидкости $V_{0}$.
Решение:
В этой задаче сопротивление жидкости, а, значит, и выделяемая тепловая мощность изменяются с течением времени. Чтобы найти выделившееся в системе тепло необходимо разбить процесс на много маленьких промежутков $\Delta t$, в течение каждого из которых мощность практически не меняется, так что выделившаяся теплота равна произведению этой мощности и $\Delta t$. Затем требуется сложить все такие вклады. Видно, что каждое слагаемое при этом численно равно площади узкого (шириной $\Delta t$) прямоугольника под графиком мощности. Так что выделившаяся за всё время теплота численно равна площади под графиком. Построим этот график. Объём первой жидкости линейно убывает с течением времени, $V(t) = V_{0} - kvt$. Сопротивление жидкости объёма $V$ с удельным сопротивлением $\rho$, налитой в цилиндр площадью $S$ равно $\rho L/S = \rho V/S^{2}$, здесь $L$ — высота уровня жидкости. Зависимость полного сопротивления цепи, подключённой к источнику тока, от времени есть, таким образом, $R(t) = ( \rho_{1} V(t) + \rho_{2} V_{0})/S^{2}$, а выделяемая мощность $N(t) = I^{2}R(t)$. Построим график зависимости мощности от времени при $t < t_{1} = V_{0}/kv$ ($t_{1}$ — время, за которое вытечет первая жидкость). Далее сопротивление цепи не меняется, значит, тепловая мощность постоянна (см. рис.). Количество выделившейся теплоты равно площади под графиком, которую легко вычислить с помощью простых геометрических соображений.
Ответ. В процессе выделилась теплота $Q = I^{2}V_{0}^{2}(2 \rho_{2} + \rho_{1}/2)/ kvS^{2}$.
В сосуде из непроводящего материала находятся равные объёмы двух несмешивающихся жидкостей, удельные электрические сопротивления которых $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, соответственно (см. рис.). В сосуд вмонтировано два электрода $Э_{1}$ и $Э_{2}$, к ним подсоединён источник тока, который, независимо от сопротивления цепи, даёт ток $I$. Верхний электрод представляет из себя подвижный поршень. В нижней части сосуда имеется клапан, через который ежесекундно протекает $k$ капель жидкости объёмом $v$. После того, как первая жидкость полностью вытекла из сосуда, клапан закрывают. Какое количество тепла выделится за время, равное удвоенному времени вытекания первой жидкости? Площадь дна сосуда и электродов равна $S$, первоначальный объём каждой жидкости $V_{0}$.
Решение:
В этой задаче сопротивление жидкости, а, значит, и выделяемая тепловая мощность изменяются с течением времени. Чтобы найти выделившееся в системе тепло необходимо разбить процесс на много маленьких промежутков $\Delta t$, в течение каждого из которых мощность практически не меняется, так что выделившаяся теплота равна произведению этой мощности и $\Delta t$. Затем требуется сложить все такие вклады. Видно, что каждое слагаемое при этом численно равно площади узкого (шириной $\Delta t$) прямоугольника под графиком мощности. Так что выделившаяся за всё время теплота численно равна площади под графиком. Построим этот график. Объём первой жидкости линейно убывает с течением времени, $V(t) = V_{0} - kvt$. Сопротивление жидкости объёма $V$ с удельным сопротивлением $\rho$, налитой в цилиндр площадью $S$ равно $\rho L/S = \rho V/S^{2}$, здесь $L$ — высота уровня жидкости. Зависимость полного сопротивления цепи, подключённой к источнику тока, от времени есть, таким образом, $R(t) = ( \rho_{1} V(t) + \rho_{2} V_{0})/S^{2}$, а выделяемая мощность $N(t) = I^{2}R(t)$. Построим график зависимости мощности от времени при $t < t_{1} = V_{0}/kv$ ($t_{1}$ — время, за которое вытечет первая жидкость). Далее сопротивление цепи не меняется, значит, тепловая мощность постоянна (см. рис.). Количество выделившейся теплоты равно площади под графиком, которую легко вычислить с помощью простых геометрических соображений.
Ответ. В процессе выделилась теплота $Q = I^{2}V_{0}^{2}(2 \rho_{2} + \rho_{1}/2)/ kvS^{2}$.
