Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5400
2017-11-26 
Имеется положительно заряженная полубесконечная нить, начинающаяся из точки O. Плотность заряда вдоль нити постоянна. Найти направление напряжённости электрического поля в точке B на прямой линии AOA (см. рис.), перпендикулярной к нити.
Решение:
Рассмотрим точку B на линии АА. Поместим начало второй такой же заряженной нити в точку C, так чтобы отрезки OB и BC были равны: $|OB| = |BC| = x$ (обозначим длину этих отрезков через $x$). Из соображений симметрии ясно, что эти нити будут создавать в точке B одинаковую по величине напряжённость поля $E_{1} = E_{2}$, но из этого ещё не следует, что напряжённость поля в точке B будет равна нулю, поскольку мы не знаем, как направлены эти векторы. Выясним, чему будет равна суммарная напряжённость поля в точке B. Выберем маленький кусочек $\Delta L$ на первой нити (обозначим его KM) и кусочек $\Delta L_{1}$ на второй нити, так, чтобы кусочки были видны под одним и тем же малым углом $\delta \alpha$ из точки B (см. рис. 1). Эти кусочки должны быть малы настолько, чтобы их можно было бы рассматривать как точечные заряды. Напряжённость поля, создаваемого точечным зарядом $\Delta q = \rho \Delta L$ равна $E_{1} = k \rho \Delta L/R^{2}$. Расстояние $R$ от точки B до кусочка KM можно выразить через длину отрезка OB: $R \cong BM = x/ \cos \alpha$. Длина кусочка $\Delta L$ может быть определена из прямоугольного треугольника KMF: $\Delta L = b/ \cos ( \alpha + \delta \alpha ) \cong b/ \cos \alpha$, где определяется из треугольника FMB: $b = R \sin \delta \alpha \cong R \delta \alpha$. Отсюда для напряжённости поля, создаваемого кусочком нити $\Delta L$, имеем $E_{1} = \rho \delta \alpha /x$. Ответ не зависит ни от чего, кроме расстояния от точки B до заряженной нити и угла $\delta \alpha$, следовательно, и для напряжённости поля, создаваемого кусочком $\Delta L_{1}$ справедлив тот же ответ: $E_{2} = \rho \delta \alpha /x$. Таким образом, рассматриваемые два кусочка создают равную по величине и противоположно направленную напряжённость поля. Очевидно, что для каждого малого кусочка на одной нити существует симметричный кусочек из другой нити. (То, что при движении вдоль нити кусочки $\Delta L$ становятся на одной нити короче, а на другой длиннее не должно нас смущать, так как одновременно изменяется расстояние до точки в которой мы вычисляем напряжённость. Кроме того, мы всегда можем выбрать угол $\delta \alpha$ достаточно малым.) Следовательно, суммарная напряжённость поля, создаваемого двумя нитями в точке B, будет равна нулю. Учитывая то, что величины напряжённости поля, создаваемого каждой нитью, равны, а их суммарная напряжённость поля равна нулю, мы можем сделать вывод о том, что векторы напряжённости поля направлены в противоположные стороны. Из соображений симметрии векторы напряжённости поля должны быть направлены под одинаковым углом к соответствующим линиям (AA и BC). Единственным возможным вариантом будет направление суммарного вектора напряжённости под углом $45^{ \circ} C$ (напряжённость от нити, исходящей из точки O — биссектриса угла ABC, а от нити, исходящей из точки C — биссектриса угла OBH).
Ответ. Вектор напряжённости поля в точке B направлен под углом $45^{ \circ} C$ к линии AA (см. рис. 2).
Имеется положительно заряженная полубесконечная нить, начинающаяся из точки O. Плотность заряда вдоль нити постоянна. Найти направление напряжённости электрического поля в точке B на прямой линии AOA (см. рис.), перпендикулярной к нити.
Решение:
Рассмотрим точку B на линии АА. Поместим начало второй такой же заряженной нити в точку C, так чтобы отрезки OB и BC были равны: $|OB| = |BC| = x$ (обозначим длину этих отрезков через $x$). Из соображений симметрии ясно, что эти нити будут создавать в точке B одинаковую по величине напряжённость поля $E_{1} = E_{2}$, но из этого ещё не следует, что напряжённость поля в точке B будет равна нулю, поскольку мы не знаем, как направлены эти векторы. Выясним, чему будет равна суммарная напряжённость поля в точке B. Выберем маленький кусочек $\Delta L$ на первой нити (обозначим его KM) и кусочек $\Delta L_{1}$ на второй нити, так, чтобы кусочки были видны под одним и тем же малым углом $\delta \alpha$ из точки B (см. рис. 1). Эти кусочки должны быть малы настолько, чтобы их можно было бы рассматривать как точечные заряды. Напряжённость поля, создаваемого точечным зарядом $\Delta q = \rho \Delta L$ равна $E_{1} = k \rho \Delta L/R^{2}$. Расстояние $R$ от точки B до кусочка KM можно выразить через длину отрезка OB: $R \cong BM = x/ \cos \alpha$. Длина кусочка $\Delta L$ может быть определена из прямоугольного треугольника KMF: $\Delta L = b/ \cos ( \alpha + \delta \alpha ) \cong b/ \cos \alpha$, где определяется из треугольника FMB: $b = R \sin \delta \alpha \cong R \delta \alpha$. Отсюда для напряжённости поля, создаваемого кусочком нити $\Delta L$, имеем $E_{1} = \rho \delta \alpha /x$. Ответ не зависит ни от чего, кроме расстояния от точки B до заряженной нити и угла $\delta \alpha$, следовательно, и для напряжённости поля, создаваемого кусочком $\Delta L_{1}$ справедлив тот же ответ: $E_{2} = \rho \delta \alpha /x$. Таким образом, рассматриваемые два кусочка создают равную по величине и противоположно направленную напряжённость поля. Очевидно, что для каждого малого кусочка на одной нити существует симметричный кусочек из другой нити. (То, что при движении вдоль нити кусочки $\Delta L$ становятся на одной нити короче, а на другой длиннее не должно нас смущать, так как одновременно изменяется расстояние до точки в которой мы вычисляем напряжённость. Кроме того, мы всегда можем выбрать угол $\delta \alpha$ достаточно малым.) Следовательно, суммарная напряжённость поля, создаваемого двумя нитями в точке B, будет равна нулю. Учитывая то, что величины напряжённости поля, создаваемого каждой нитью, равны, а их суммарная напряжённость поля равна нулю, мы можем сделать вывод о том, что векторы напряжённости поля направлены в противоположные стороны. Из соображений симметрии векторы напряжённости поля должны быть направлены под одинаковым углом к соответствующим линиям (AA и BC). Единственным возможным вариантом будет направление суммарного вектора напряжённости под углом $45^{ \circ} C$ (напряжённость от нити, исходящей из точки O — биссектриса угла ABC, а от нити, исходящей из точки C — биссектриса угла OBH).
Ответ. Вектор напряжённости поля в точке B направлен под углом $45^{ \circ} C$ к линии AA (см. рис. 2).
