Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5396
2017-11-26 
Воздушный шар имеет тонкую мягкую нерастяжимую оболочку объёма $V_{0}$. Масса груза, прикреплённого к шару вместе с оболочкой равна $m_{0}$. На земле оболочку шара наполняют до некоторого объёма $V_{1}$ газом плотности $\rho_{1}$ при атмосферном давлении. Найдите, до какой высоты поднимется шар. С высотой плотность воздуха меняется по закону $\rho(h) = \rho_{0} e^{ - \alpha h}$, где $\rho_{0}$ и $\alpha$ — известные постоянные. До какого объёма нужно заполнить оболочку шара, чтобы высота его подъёма была максимальной? Какова эта высота?
Решение:
Шар будет подниматься, если выполняется неравенство $V ( \rho_{в} - \rho_{г} > m$, где $V$ — объём оболочки, $\rho_{в}$ и $\rho_{г}$ — плотность соответственно воздуха и газа, находящегося в оболочке на той высоте, где находится шар. Если $V < m/( \rho_{в} - \rho_{г})$, то шар не полетит совсем. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа $P =( \rho /m) RT$, перепишем левую часть неравенства: $V ( \rho_{в} - \rho_{г} ) = V( P_{в} m_{в}/RT_{в} - P_{г} m_{г}/RT_{г})$. Если давление и температура газа внутри оболочки равны внешнему давлению и температуре (последнее будет выполняться в условиях задачи, поскольку исследуется статическая задача ищется высота максимального подъёма), то равенство можно продолжить, $V( \rho_{в} - \rho_{г}) = VP_{г}(P_{в}m_{в} - m_{г})/RT_{г}$. Таким образом, подъёмная сила, действующая на поднимающийся шар, постоянна до тех пор, пока оболочка не достигнет своего предельного объёма. Высота, на которой это происходит, называется высотой выполнения. Дальнейший подъём происходит до тех пор, пока сила Архимеда не сравняется с силой тяжести: $V_{0} \rho_{в}(h) = m + V_{1} \rho_{1}$ ($V_{1} \rho_{1}$ — масса газа, заключённого в оболочку). Это даёт для высоты подъёма
$h_{m} = \frac{1}{ \alpha } ln \frac{V_{0} \rho_{0}}{m + V_{1} \rho_{1}}$.
Ясно, что чем меньшее значение стоит в знаменателе дроби, тем больше будет высота $h_{m}$. Этого можно добиться уменьшением $V_{1}$. При этом для того, чтоб шар оторвался от земли, необходимо $V > m/( \rho_{в} - \rho_{г})$. Предельное значение и даёт искомый минимальный объём. Высота подъёма при этом
$h_{m} = \frac{1}{ \alpha} ln \frac{V_{0} \rho_{0}}{ m + V_{1} \rho_{1}}$.
Ответ. Наибольшая высота подъёма воздушного шара $h_{m}$ достигается, когда его наполнение минимально необходимое, чтобы оторваться от земли. Шар при этом поднимается с очень маленькой скоростью. Если баллон более наполнен, шар поднимается быстрее, но до меньшей высоты.
Воздушный шар имеет тонкую мягкую нерастяжимую оболочку объёма $V_{0}$. Масса груза, прикреплённого к шару вместе с оболочкой равна $m_{0}$. На земле оболочку шара наполняют до некоторого объёма $V_{1}$ газом плотности $\rho_{1}$ при атмосферном давлении. Найдите, до какой высоты поднимется шар. С высотой плотность воздуха меняется по закону $\rho(h) = \rho_{0} e^{ - \alpha h}$, где $\rho_{0}$ и $\alpha$ — известные постоянные. До какого объёма нужно заполнить оболочку шара, чтобы высота его подъёма была максимальной? Какова эта высота?
Решение:
Шар будет подниматься, если выполняется неравенство $V ( \rho_{в} - \rho_{г} > m$, где $V$ — объём оболочки, $\rho_{в}$ и $\rho_{г}$ — плотность соответственно воздуха и газа, находящегося в оболочке на той высоте, где находится шар. Если $V < m/( \rho_{в} - \rho_{г})$, то шар не полетит совсем. Воспользовавшись уравнением состояния идеального газа $P =( \rho /m) RT$, перепишем левую часть неравенства: $V ( \rho_{в} - \rho_{г} ) = V( P_{в} m_{в}/RT_{в} - P_{г} m_{г}/RT_{г})$. Если давление и температура газа внутри оболочки равны внешнему давлению и температуре (последнее будет выполняться в условиях задачи, поскольку исследуется статическая задача ищется высота максимального подъёма), то равенство можно продолжить, $V( \rho_{в} - \rho_{г}) = VP_{г}(P_{в}m_{в} - m_{г})/RT_{г}$. Таким образом, подъёмная сила, действующая на поднимающийся шар, постоянна до тех пор, пока оболочка не достигнет своего предельного объёма. Высота, на которой это происходит, называется высотой выполнения. Дальнейший подъём происходит до тех пор, пока сила Архимеда не сравняется с силой тяжести: $V_{0} \rho_{в}(h) = m + V_{1} \rho_{1}$ ($V_{1} \rho_{1}$ — масса газа, заключённого в оболочку). Это даёт для высоты подъёма
$h_{m} = \frac{1}{ \alpha } ln \frac{V_{0} \rho_{0}}{m + V_{1} \rho_{1}}$.
Ясно, что чем меньшее значение стоит в знаменателе дроби, тем больше будет высота $h_{m}$. Этого можно добиться уменьшением $V_{1}$. При этом для того, чтоб шар оторвался от земли, необходимо $V > m/( \rho_{в} - \rho_{г})$. Предельное значение и даёт искомый минимальный объём. Высота подъёма при этом
$h_{m} = \frac{1}{ \alpha} ln \frac{V_{0} \rho_{0}}{ m + V_{1} \rho_{1}}$.
Ответ. Наибольшая высота подъёма воздушного шара $h_{m}$ достигается, когда его наполнение минимально необходимое, чтобы оторваться от земли. Шар при этом поднимается с очень маленькой скоростью. Если баллон более наполнен, шар поднимается быстрее, но до меньшей высоты.
