Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5395
2017-11-26 
Имеются два одинаковых сверхпрочных воздушных шарика. Давление $p$, создаваемое тонкой оболочкой шарика, монотонно растёт при увеличении его объёма $V$. Первоначально в одном из шариков находился гелий при давлении $p_{0} = 10^{6} Па$, а другой был пустой. Шарики соединяют так, что газ может свободно перетекать из одного в другой. Теплообмена между шариками и окружающей средой нет, внутренняя энергия оболочек не зависит от температуры. Как изменятся давление и объём всего газа (возрастут или уменьшатся) по сравнению с первоначальными значениями после установления равновесия? Найдите конечные давление и объём газа в случае зависимости $p(V)$, приведённой на графике (см. рис.). Атмосферным давлением пренебречь.
Решение:
Система теплоизолирована, так что сумма потенциальной энергии оболочки и внутренней энергии газа постоянна. Решение предлагаемой задачи, вообще говоря, требует интегрирования функции давления $p(V)$ по объёму для вычисления потенциальной энергии, запасённой в упругой оболочке. Как обычно, в этом случае предполагается, что участники олимпиады проведут «численное интегрирование», т.е. определят площадь под графиком. Первый шаг решения состоит в нахождении начального объёма шара по графику, исходя из условия $p(V_{0}) = p_{0}$, получаем $V_{0} = 1,1 л$. Выпишем выражение для начальной энергии системы: $U = E(V_{0}) + 3/2 p_{0}V_{0}$. Второе слагаемое в правой части этого выражения внутренняя энергия газа. Первое слагаемое запасённая в оболочке энергия, численно равная площади под графиком на интервале от 0 до $V_{0}$ по оси абсцисс. Действительно, энергия оболочки объёма $V_{0}$ — это, численно, работа по надуванию оболочки такого объёма. Для раздувания оболочки на малую величину $\Delta V$, если оболочка уже надута до давления $P$, требуется совершить работу $P \Delta V$, т. е. площади узкого прямоугольника на графике $P(V)$. Рассматривая процесс надувания оболочки как большое количество раздуваний на маленькую величину $\Delta V$, каждое из которых протекает при практически постоянном давлении, получаем выражение для совершённой работы как сумму площадей узких прямоугольников разной высоты (с шириной $\Delta V$), которое при малых $\Delta V$ стремится к площади под графиком. В конечном состоянии полная энергия системы имеет вид $U^{ \prime} = 2E(V/2) + 3/2 Vp(V/2)$. Предположим, что объём каждого шарика стал бы $V_{0}/2$ (полный объём газа не изменился). При этом давление $p(V_{0}/2)$ (определяем по графику) уменьшилось бы по сравнению с первоначальным, и вместе с ним уменьшилось бы второе слагаемое в $U^{ \prime}$ по сравнению с аналогичным слагаемым в $U$. С другой стороны, видно, что удвоенная площадь под графиком $P(V)$ на интервале от 0 до $V/2$ меньше площади под тем же графиком на интервале от 0 до $V$ (здесь существенной оказывается только то, что $P(V)$ — неубывающий график). Так что первое слагаемое в $U^{ \prime}$ также меньше аналогичного слагаемого в $U$. Итак, видно, что если бы объём шариков стал бы $V_{0}/2$, то энергия системы стала бы равна $U_{0}^{ \prime}$ и была бы меньше исходной энергии $U$. На самом деле энергия системы не меняется. Заметим, что энергия системы в конечном состоянии $U^{ \prime}(V)$ — монотонная функция объёма, значит, в реальности $U^{ \prime} > U_{0}^{ \prime}$, и, следовательно, $V/2 > V_{0}/2$. Итак, объём всего газа увеличится, а давление — уменьшится. Для получения ответа на второй вопрос задачи следует найти точку $(P, V)$ на графике, для которой $2E(V/2) + 3/2V \cdot p(V/2) = E(V_{0}) + 3/2V_{0} p(V)$. Здесь $E(V/2)$ представляет собой площадь под графиком на интервале от 0 до $V/2$.
Ответ. После установки равновесия давление уменьшится, а объём будет равен примерно 1,39 л.
Имеются два одинаковых сверхпрочных воздушных шарика. Давление $p$, создаваемое тонкой оболочкой шарика, монотонно растёт при увеличении его объёма $V$. Первоначально в одном из шариков находился гелий при давлении $p_{0} = 10^{6} Па$, а другой был пустой. Шарики соединяют так, что газ может свободно перетекать из одного в другой. Теплообмена между шариками и окружающей средой нет, внутренняя энергия оболочек не зависит от температуры. Как изменятся давление и объём всего газа (возрастут или уменьшатся) по сравнению с первоначальными значениями после установления равновесия? Найдите конечные давление и объём газа в случае зависимости $p(V)$, приведённой на графике (см. рис.). Атмосферным давлением пренебречь.
Решение:
Система теплоизолирована, так что сумма потенциальной энергии оболочки и внутренней энергии газа постоянна. Решение предлагаемой задачи, вообще говоря, требует интегрирования функции давления $p(V)$ по объёму для вычисления потенциальной энергии, запасённой в упругой оболочке. Как обычно, в этом случае предполагается, что участники олимпиады проведут «численное интегрирование», т.е. определят площадь под графиком. Первый шаг решения состоит в нахождении начального объёма шара по графику, исходя из условия $p(V_{0}) = p_{0}$, получаем $V_{0} = 1,1 л$. Выпишем выражение для начальной энергии системы: $U = E(V_{0}) + 3/2 p_{0}V_{0}$. Второе слагаемое в правой части этого выражения внутренняя энергия газа. Первое слагаемое запасённая в оболочке энергия, численно равная площади под графиком на интервале от 0 до $V_{0}$ по оси абсцисс. Действительно, энергия оболочки объёма $V_{0}$ — это, численно, работа по надуванию оболочки такого объёма. Для раздувания оболочки на малую величину $\Delta V$, если оболочка уже надута до давления $P$, требуется совершить работу $P \Delta V$, т. е. площади узкого прямоугольника на графике $P(V)$. Рассматривая процесс надувания оболочки как большое количество раздуваний на маленькую величину $\Delta V$, каждое из которых протекает при практически постоянном давлении, получаем выражение для совершённой работы как сумму площадей узких прямоугольников разной высоты (с шириной $\Delta V$), которое при малых $\Delta V$ стремится к площади под графиком. В конечном состоянии полная энергия системы имеет вид $U^{ \prime} = 2E(V/2) + 3/2 Vp(V/2)$. Предположим, что объём каждого шарика стал бы $V_{0}/2$ (полный объём газа не изменился). При этом давление $p(V_{0}/2)$ (определяем по графику) уменьшилось бы по сравнению с первоначальным, и вместе с ним уменьшилось бы второе слагаемое в $U^{ \prime}$ по сравнению с аналогичным слагаемым в $U$. С другой стороны, видно, что удвоенная площадь под графиком $P(V)$ на интервале от 0 до $V/2$ меньше площади под тем же графиком на интервале от 0 до $V$ (здесь существенной оказывается только то, что $P(V)$ — неубывающий график). Так что первое слагаемое в $U^{ \prime}$ также меньше аналогичного слагаемого в $U$. Итак, видно, что если бы объём шариков стал бы $V_{0}/2$, то энергия системы стала бы равна $U_{0}^{ \prime}$ и была бы меньше исходной энергии $U$. На самом деле энергия системы не меняется. Заметим, что энергия системы в конечном состоянии $U^{ \prime}(V)$ — монотонная функция объёма, значит, в реальности $U^{ \prime} > U_{0}^{ \prime}$, и, следовательно, $V/2 > V_{0}/2$. Итак, объём всего газа увеличится, а давление — уменьшится. Для получения ответа на второй вопрос задачи следует найти точку $(P, V)$ на графике, для которой $2E(V/2) + 3/2V \cdot p(V/2) = E(V_{0}) + 3/2V_{0} p(V)$. Здесь $E(V/2)$ представляет собой площадь под графиком на интервале от 0 до $V/2$.
Ответ. После установки равновесия давление уменьшится, а объём будет равен примерно 1,39 л.
