Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5393
2017-11-26 
Газовая смесь состоит из двух изотопов некоторого вещества. Массы молекул лёгкого и тяжёлого изотопа равны $m_{Л}$ и $m_{Т}$. Через патрубок A смесь попадает в обогатитель, состоящий из двух отсеков, разделённых перегородкой Пс небольшими отверстиями (см. рис.). Малая часть смеси просачивается через отверстия в перегородке, при этом оказывается, что относительное содержание лёгкого изотопа увеличивается. Обогащённую таким образом лёгким изотопом смесь откачивают насосом через патрубок B. Остальная часть отводится через патрубок D. Какова была доля концентрации лёгкого изотопа в исходной смеси, если его концентрация после обогащения стала составлять долю $C_{1}$ от общей концентрации в правом отсеке? Температура газа в отсеках одинакова и постоянна, давления в отсеках $P_{1}$ и $P_{2}$ считать известными и установившимися, причём $P_{2} < P_{1}$. Газ считайте идеальным.
Решение:
Обозначим концентрации изотопов в левом отсеке $n_{л}$ и $n_{т}$, а искомую относительную концентрацию $C_{0} = n_{л}/(n_{л} + n_{т})$. Так как давление в левом отсеке связано с суммарной концентрацией основным уравнением молекулярно-кинетической теории $P_{1} = (n_{л} + n_{т})kT$, концентрации $n_{л}$ и $n_{т}$ могут быть выражены через искомую величину $C_{0}: n_{л} = C_{0}P_{1}/kT, n_{т} = (1 - C_{0})P_{1} /kT$. Аналогично, концентрации в правом отсеке выражаются через известную $C_{1}: n_{л}^{ \prime} = C_{1} P_{2}/kT, n_{т}^{ \prime} = (1 - C_{1})P_{2}/kT$. Определим, сколько молекул каждого изотопа пролетают через отверстия в перегородке за единицу времени. Для определённости, рассмотрим сначала лёгкий изотоп, пролетающий из левого отсека в правый. Так как температура — мера средней кинетической энергии молекул $(kT \sim m_{л}V^{2}/2)$, то среднеквадратичная скорость молекулы будет обратно пропорциональна корню её массы $V \sim (kT/m_{м})^{1/2}$. Вообще, в газе можно вводить разнообразные средние скорости среднюю от модуля скорости, среднюю проекцию вдоль какого-нибудь направления. Понятно по размерности, что все эти скорости должны быть пропорциональны друг другу, так что средняя в любом смысле скорость будет обратно пропорциональна корню из массы молекулы. Рассмотрим молекулы, которые успеют через маленький промежуток времени At пролететь через некоторое отверстие в перегородке (на рис. белые молекулы — те, что попадают за $\Delta t$ в отверстие, чёрные — те, что не попадают). Понятно, что если скорости всех молекул уменьшить в $n$ раз (средняя скорость молекул при этом также уменьшится в $n$ раз), то через время $n \Delta t$ те же молекулы (белые) пролетят сквозь отверстие. Значит, число молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени уменьшится в $n$ раз. Итак, число пролетающих молекул пропорционально средней скорости молекул, и, значит, обратно пропорциональна корню из их массы. С другой стороны, если увеличить в $k$ раз концентрацию молекул перед отверстием, понятно, что и число пролетающих сквозь отверстие за время $\Delta t$ молекул увеличится во столько же раз. Итак, число молекул лёгкого изотопа, пролетающего из левого отсека в правый в единицу времени $N_{1} \sim n_{л}/m_{л}^{1/2}$. Существует и обратный поток молекул — из правого отсека в левый, причём, так как газ предлагается считать идеальным, потоки молекул не влияют друг на друга (это верно, если длина свободного пробега молекул больше характеристических размеров отверстий). Соответствующее число частиц в единицу времени $N_{1} \sim n_{л}^{ \prime}/ m_{л}^{1/2}$. Разница между $N_{1}$ и $N_{2}$ даёт поток частиц лёгкого изотопа из левого отсека в правый $\Pi_{л} = A(n_{л} - n_{л}^{ \prime})/ m_{л}^{1/2} = A(C_{0}P_{1} - C_{1} P_{2})/(kT m_{л}^{1/2} )$, через $A$ мы обозначили коэффициент пропорциональности, не зависящий от массы молекул и их концентрации (и, на самом деле, от температуры, хотя это и не используется в решении). Аналогично, для потока тяжёлых изотопов $\Pi_{Т} = A (n_{т} - n_{т}^{ \prime} ) / m_{т}^{1/2} = A ((1 - C_{0})P_{1} - (1 - C_{1}) P_{2} ) / (k Tm_{т}^{1/2})$ с тем же коэффициентом пропорциональности. В стационарном случае (когда все концентрации перестали меняться) отношение концентраций во втором отсеке пропорционально отношению потоков, втекающих в этот отсек: $\Pi_{л}/ \Pi_{т} = C_{1}/(1 - C_{1})$. Подставляя значения потоков, получим уравнение, связывающее относительные концентрации лёгкого изотопа до перегородки и после неё.
Ответ. Концентрация лёгкого изотопа в первом объёме будет равна
$C_{0} = \frac{ (1 - k + kC_{1} + kr - C_{1} kr )C_{1} }{C_{1} + r - C_{1}r }$.
где $k = P_{2}/P_{1}, r = (m_{л}/m_{т})^{1/2}$.
Газовая смесь состоит из двух изотопов некоторого вещества. Массы молекул лёгкого и тяжёлого изотопа равны $m_{Л}$ и $m_{Т}$. Через патрубок A смесь попадает в обогатитель, состоящий из двух отсеков, разделённых перегородкой Пс небольшими отверстиями (см. рис.). Малая часть смеси просачивается через отверстия в перегородке, при этом оказывается, что относительное содержание лёгкого изотопа увеличивается. Обогащённую таким образом лёгким изотопом смесь откачивают насосом через патрубок B. Остальная часть отводится через патрубок D. Какова была доля концентрации лёгкого изотопа в исходной смеси, если его концентрация после обогащения стала составлять долю $C_{1}$ от общей концентрации в правом отсеке? Температура газа в отсеках одинакова и постоянна, давления в отсеках $P_{1}$ и $P_{2}$ считать известными и установившимися, причём $P_{2} < P_{1}$. Газ считайте идеальным.
Решение:
Обозначим концентрации изотопов в левом отсеке $n_{л}$ и $n_{т}$, а искомую относительную концентрацию $C_{0} = n_{л}/(n_{л} + n_{т})$. Так как давление в левом отсеке связано с суммарной концентрацией основным уравнением молекулярно-кинетической теории $P_{1} = (n_{л} + n_{т})kT$, концентрации $n_{л}$ и $n_{т}$ могут быть выражены через искомую величину $C_{0}: n_{л} = C_{0}P_{1}/kT, n_{т} = (1 - C_{0})P_{1} /kT$. Аналогично, концентрации в правом отсеке выражаются через известную $C_{1}: n_{л}^{ \prime} = C_{1} P_{2}/kT, n_{т}^{ \prime} = (1 - C_{1})P_{2}/kT$. Определим, сколько молекул каждого изотопа пролетают через отверстия в перегородке за единицу времени. Для определённости, рассмотрим сначала лёгкий изотоп, пролетающий из левого отсека в правый. Так как температура — мера средней кинетической энергии молекул $(kT \sim m_{л}V^{2}/2)$, то среднеквадратичная скорость молекулы будет обратно пропорциональна корню её массы $V \sim (kT/m_{м})^{1/2}$. Вообще, в газе можно вводить разнообразные средние скорости среднюю от модуля скорости, среднюю проекцию вдоль какого-нибудь направления. Понятно по размерности, что все эти скорости должны быть пропорциональны друг другу, так что средняя в любом смысле скорость будет обратно пропорциональна корню из массы молекулы. Рассмотрим молекулы, которые успеют через маленький промежуток времени At пролететь через некоторое отверстие в перегородке (на рис. белые молекулы — те, что попадают за $\Delta t$ в отверстие, чёрные — те, что не попадают). Понятно, что если скорости всех молекул уменьшить в $n$ раз (средняя скорость молекул при этом также уменьшится в $n$ раз), то через время $n \Delta t$ те же молекулы (белые) пролетят сквозь отверстие. Значит, число молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени уменьшится в $n$ раз. Итак, число пролетающих молекул пропорционально средней скорости молекул, и, значит, обратно пропорциональна корню из их массы. С другой стороны, если увеличить в $k$ раз концентрацию молекул перед отверстием, понятно, что и число пролетающих сквозь отверстие за время $\Delta t$ молекул увеличится во столько же раз. Итак, число молекул лёгкого изотопа, пролетающего из левого отсека в правый в единицу времени $N_{1} \sim n_{л}/m_{л}^{1/2}$. Существует и обратный поток молекул — из правого отсека в левый, причём, так как газ предлагается считать идеальным, потоки молекул не влияют друг на друга (это верно, если длина свободного пробега молекул больше характеристических размеров отверстий). Соответствующее число частиц в единицу времени $N_{1} \sim n_{л}^{ \prime}/ m_{л}^{1/2}$. Разница между $N_{1}$ и $N_{2}$ даёт поток частиц лёгкого изотопа из левого отсека в правый $\Pi_{л} = A(n_{л} - n_{л}^{ \prime})/ m_{л}^{1/2} = A(C_{0}P_{1} - C_{1} P_{2})/(kT m_{л}^{1/2} )$, через $A$ мы обозначили коэффициент пропорциональности, не зависящий от массы молекул и их концентрации (и, на самом деле, от температуры, хотя это и не используется в решении). Аналогично, для потока тяжёлых изотопов $\Pi_{Т} = A (n_{т} - n_{т}^{ \prime} ) / m_{т}^{1/2} = A ((1 - C_{0})P_{1} - (1 - C_{1}) P_{2} ) / (k Tm_{т}^{1/2})$ с тем же коэффициентом пропорциональности. В стационарном случае (когда все концентрации перестали меняться) отношение концентраций во втором отсеке пропорционально отношению потоков, втекающих в этот отсек: $\Pi_{л}/ \Pi_{т} = C_{1}/(1 - C_{1})$. Подставляя значения потоков, получим уравнение, связывающее относительные концентрации лёгкого изотопа до перегородки и после неё.
Ответ. Концентрация лёгкого изотопа в первом объёме будет равна
$C_{0} = \frac{ (1 - k + kC_{1} + kr - C_{1} kr )C_{1} }{C_{1} + r - C_{1}r }$.
где $k = P_{2}/P_{1}, r = (m_{л}/m_{т})^{1/2}$.
