2014-06-01
Массивный диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью $\Omega$. На него сверху опускают диск массой $m$ радиуса $r$, ось которого направлена строго вертикально (рис.). Расстояние между осями дисков равно $d (d > r)$, коэффициент трения между поверхностями равен $\mu$.
Определите установившуюся угловую скорость $\omega$ малого диска. Какой момент сил $M$ необходимо приложить к оси большого диска, чтобы скорость его вращения оставалась неизменной? Радиус массивного диска $R > d + r$. Трением в осях дисков пренебречь.
Решение:
рис.1
Рассмотрим, как будет двигаться малый диск сразу после соприкосновения с большим.
Выберем два одинаковых небольших участка малого диска, расположенных на одном диаметре симметрично относительно центра этого диска $O^{\prime}$. На рис. 1 точки $A_{1}$ и $A_{2}$ - центры масс таких участков.
В момент касания дисков (когда малый диск еще покоится) скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ тех точек большого диска, которые соприкасаются с точками $A_{1}$ и $A_{2}$ малого диска, направлены так, как показано на рис. 1 ($v_{1} = \Omega \cdot OA_{1}, v_{2}= \Omega \cdot OA_{2}$). Понятно, что вдоль скоростей $v_{1}$ и $v_{2}$ будут направлены в момент касания силы трения $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$, действующие со стороны большого диска на центры масс выбранных участков $A_{1}$ и $A_{2}$ малого диска ($F_{тр1} = F_{тр2}$). Поскольку плечо $l_{1}$ силы $F_{тр1}$ относительно оси малого диска меньше плеча $l_{2}$ силы $F_{тр2}$ (рис. 1), суммарный момент пары сил $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$ будет закручивать малый диск в направлении вращения большою диска.
Рассмотрев аналогичные пары участков малого диска, приходим к выводу, что сразу после касания малый диск начнет закручиваться в направлении вращения большого диска.
Пусть в некоторый момент времени угловая скорость малого диска стала равной $\omega$. Скорости участков с центрами масс в точках $A_{1}$ и $A_{2}$ будут равны $v^{\prime}_{1} = v^{\prime}_{2} = \omega r$, где $r=O^{\prime}A_{1}= O^{\prime}A_{2}$ (рис. 2). Силы трения $F_{тр1}^{\prime}$ и $F_{тр2}^{\prime}$, действующие на эти участки, будут направлены вдоль векторов $v_{1} – v_{1}^{\prime}$ (относительная скорость точки большого диска, касающейся точки $A_{1}$) и $v_{2} – v_{2}^{\prime}$ (относительная скорость точки большого диска, касающейся точки $A_{2}$). Понятно, что момент пары сил $F_{тр1}^{\prime}$ и $F_{тр2}^{\prime}$ будет раскручивать малый диск (т. е, угловая скорость диска будет меняться), если $v_{1}^{\prime}= v_{2}^{\prime} < B_{1}B_{2}/2 = \Omega r$ (см. рис. 2; для удобства сравнения векторы, «относящиеся» к точке $A_{2}$, перенесены в точку $A_{1}$).
Рис. 2
Таким образом, пока $\omega < \Omega$, имеется отличный от нуля момент сил трения, раскручивающих малый диск. При $\omega = \Omega$ относительные скорости участков с центрами масс в точках $A_{1}$ и $A_{2}$ направлены перпендикулярно отрезку $OO^{\prime}$ (вдоль отрезка $A_{1}C$ на рис. 2) и момент сил трения относительно оси малого диска равен нулю. Следовательно, и в дальнейшем малый диск будет вращаться с установившейся угловой скоростью $\Omega$.
При $\omega = \Omega$ все силы трения, действующие на аналогичные пары участков малого диска, будут равны по модулю и направлены одинаково – перпендикулярно отрезку $OO^{\prime}$. Согласно третьему закону Ньютона, результирующая всех сил трения, действующих па большой диск, будет приложена к точке большого диска, касающейся центра $O^{\prime}$ малого диска, и равна $\mu mg$. Чтобы компенсировать тормозящий момент этой силы, к оси большого диска надо приложить момент сил, равный
$M = \mu mgd$.