Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 5388
2017-11-26 
Кольца могут скользить без трения вдоль закреплённого длинного вертикального стержня. В начальный момент времени все кольца лежат на земле. Затем кольцам по очереди, начиная с верхнего, с интервалом времени $t$ сообщают скорость $v \gg gt$ вверх. Встречаясь в полёте, кольца слипаются. Кольца бросают верх до тех пор, пока вся стопка колец не упадёт на Землю. Когда это произойдёт? Толщиной колец можно пренебречь.
Решение:
Рассмотрим систему в тот момент, когда первое кольцо находится в верхней точке. Кольца, которые к этому моменту находятся на стержне, имеют скорости, направленные вверх, и находятся друг от друга на различных расстояниях. Можно считать, что те кольца, которые ещё будут выпущены, также находятся на продолжении стержня и свободно движутся по нему, имея такие скорости и находясь на таком расстоянии от точки запуска, чтоб вылететь в нужный момент, имея скорость $v_{0}$. Рассмотрим случай, когда на стержне находятся $N + 1$ кольцо, а число колец, которые будут дополнительно выпущены вдоль стержня (и в данный момент находятся под точкой бросания) — $M$. $\tau$ — интервал между последовательными бросками колец, по условию задачи $N + 1 = [v_{0}/(gt)] \gg 1$. Заметим, что центр масс системы $N + M + 1$ кольца имеет постоянное ускорение $g$. Скорость и высота центра масс относительно точки бросания суть
$v_{c} = \frac{0 + g \tau + 2g \tau + \cdots + (N + M)g \tau}{ N + M + 1} \approx \frac{(N + M)g \tau }{2}$,
$h_{c} \approx \frac{g \tau^{2}N^{2} }{2} - \frac{g \tau^{2}}{2(N + M +1)} (0 + 1 + 4 + \cdots (N + M)^{2} ) \approx \frac{g \tau^{2} N^{2} }{2} - \frac{g \tau^{2} }{2} \frac{ (N + M)^{2} }{3}$
с учётом сделанных приближений $(N, M \gg 1)$. Движение центра масс $N + M + 1$ кольца, очевидно, есть просто свободное падение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_{c}$ с высоты $h_{c}$. Центр масс должен оказаться в точке бросания в тот момент, когда в той же точке окажется и $N + M + 1$-е кольцо, т.е. через время $M \tau$ (здесь снова используется $N, M \gg 1$). Запишем:
$\frac{g \tau^{2} N^{2}} {2} - \frac{g \tau^{2} }{2} \frac{ (N + M)^{2} }{3} + \frac{ (M + N)g \tau }{2} (M \tau) - \frac{g (M \tau)^{2} }{2} = 0$.
Решая уравнение относительно $M$, получаем 2 значения $M_{1} = - N$ и $M_{2} = 2N$. Очевидно, нас устраивает второе решение. Следовательно, время «схлопывания», отсчитываемое от момента, в котором положение первого кольца наивысшее, равно $t_{СХЛ} = M \tau = 2N \tau = 2v_{0}/g$. Искомое время складывается из времени схлопывания и времени подъёма первого кольца до максимальной высоты: $t_{ИСК} = t_{СХЛ} + v_{0}/g = 3v_{0}/g$. Примечательно, что в сделанных приближениях ($\tau \ll v_{0}/g$ — «непрерывный поток» от $\tau$ ответ не зависит.
Ответ. Стопка колец упадёт на землю через время $3v_{0} /g$.
Кольца могут скользить без трения вдоль закреплённого длинного вертикального стержня. В начальный момент времени все кольца лежат на земле. Затем кольцам по очереди, начиная с верхнего, с интервалом времени $t$ сообщают скорость $v \gg gt$ вверх. Встречаясь в полёте, кольца слипаются. Кольца бросают верх до тех пор, пока вся стопка колец не упадёт на Землю. Когда это произойдёт? Толщиной колец можно пренебречь.
Решение:
Рассмотрим систему в тот момент, когда первое кольцо находится в верхней точке. Кольца, которые к этому моменту находятся на стержне, имеют скорости, направленные вверх, и находятся друг от друга на различных расстояниях. Можно считать, что те кольца, которые ещё будут выпущены, также находятся на продолжении стержня и свободно движутся по нему, имея такие скорости и находясь на таком расстоянии от точки запуска, чтоб вылететь в нужный момент, имея скорость $v_{0}$. Рассмотрим случай, когда на стержне находятся $N + 1$ кольцо, а число колец, которые будут дополнительно выпущены вдоль стержня (и в данный момент находятся под точкой бросания) — $M$. $\tau$ — интервал между последовательными бросками колец, по условию задачи $N + 1 = [v_{0}/(gt)] \gg 1$. Заметим, что центр масс системы $N + M + 1$ кольца имеет постоянное ускорение $g$. Скорость и высота центра масс относительно точки бросания суть
$v_{c} = \frac{0 + g \tau + 2g \tau + \cdots + (N + M)g \tau}{ N + M + 1} \approx \frac{(N + M)g \tau }{2}$,
$h_{c} \approx \frac{g \tau^{2}N^{2} }{2} - \frac{g \tau^{2}}{2(N + M +1)} (0 + 1 + 4 + \cdots (N + M)^{2} ) \approx \frac{g \tau^{2} N^{2} }{2} - \frac{g \tau^{2} }{2} \frac{ (N + M)^{2} }{3}$
с учётом сделанных приближений $(N, M \gg 1)$. Движение центра масс $N + M + 1$ кольца, очевидно, есть просто свободное падение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_{c}$ с высоты $h_{c}$. Центр масс должен оказаться в точке бросания в тот момент, когда в той же точке окажется и $N + M + 1$-е кольцо, т.е. через время $M \tau$ (здесь снова используется $N, M \gg 1$). Запишем:
$\frac{g \tau^{2} N^{2}} {2} - \frac{g \tau^{2} }{2} \frac{ (N + M)^{2} }{3} + \frac{ (M + N)g \tau }{2} (M \tau) - \frac{g (M \tau)^{2} }{2} = 0$.
Решая уравнение относительно $M$, получаем 2 значения $M_{1} = - N$ и $M_{2} = 2N$. Очевидно, нас устраивает второе решение. Следовательно, время «схлопывания», отсчитываемое от момента, в котором положение первого кольца наивысшее, равно $t_{СХЛ} = M \tau = 2N \tau = 2v_{0}/g$. Искомое время складывается из времени схлопывания и времени подъёма первого кольца до максимальной высоты: $t_{ИСК} = t_{СХЛ} + v_{0}/g = 3v_{0}/g$. Примечательно, что в сделанных приближениях ($\tau \ll v_{0}/g$ — «непрерывный поток» от $\tau$ ответ не зависит.
Ответ. Стопка колец упадёт на землю через время $3v_{0} /g$.
